Límite superior de la delta de la opción de compra europea

Question

Para un proceso de renta variable puro (con el tipo de interés, el dividendo, etc., siendo cero) no necesariamente el movimiento browniano geométrico, ¿es el delta de una opción de compra europea siempre no superior a $1$ ? NO estoy preguntando por el delta de Black-Scholes, sino por una propiedad general libre de modelo del delta de la llamada europea. Podemos considerar esta cuestión con y sin la propiedad de martingala de que el precio subyacente esperado debe ser el precio actual.

También he formulado esta pregunta de manera más formal aquí como un problema de cálculo de variaciones o de programación lineal.

Answer 1

Es falso. He aquí un ejemplo. Sea $$ dS_t = rS_t dt + f(S_0) S_t dW_t, $$ $$ dB_t = r dt. $$ El precio es entonces el precio Black-Scholes con volatilidad $f(S_0).$ El delta es el delta de la BS más $$ f'(S_0) \times \operatorname{BS Vega}. $$ Recogiendo $f$ adecuadamente, podemos hacer el Delta tan grande como queramos.

Obsérvese que el ejemplo es muy artificial, ya que la volatilidad es una función de $S_0$ en lugar de $S_t.$

Answer 2

En cualquier modelo libre de arbitraje, se puede definir la volatilidad implícita de la BS $\sigma_{BS}(S;T,K)$ del modelo escribiendo los precios de compra como $$ C_{Mdl}(S;T,K) = C_{BS}(S;T,K;\sigma_{BS}(S;T,K)) $$ Así que la Delta del modelo es $$ \Delta_{Mdl}(S;T,K) = \partial_S C_{Mdl}(S;T,K) = \Delta_{BS} + Vega_{BS} \times \partial_S\sigma_{BS} $$ El segundo término es un término corrector que corresponde a la dinámica de la superficie vol implícita en su modelo. Si $\partial_S\sigma_{BS}$ es lo suficientemente positivo (resp. negativo), el delta del modelo de sus calls (resp. puts) será mayor que 1 (resp. menor que -1).

La cantidad $\partial_S\sigma_{BS}$ se denomina a veces la columna vertebral del modelo. Los regímenes de volatilidad introducidos por Derman pueden considerarse una especificación fuera del modelo de esta cantidad.

PD: Si quieres un ejemplo concreto, te sugiero que mires un modelo de volatilidad estocástica con una correlación muy alta/baja entre la volatilidad al contado y la instantánea. En un modelo de Heston, tienes una forma semicerrada para los precios de compra, por lo que deberías poder calcular la delta del modelo de forma algo explícita y demostrar que no está limitada por 1.

Answer 3

Parece bastante sencillo demostrar un ejemplo en un espacio discreto donde delta>1. Consideremos un árbol binomial de 2 pasos sobre una acción sin dividendos, con tipos de interés a cero. Dejemos que el precio inicial de la acción sea 100, y que cada paso del árbol tenga un riesgo neutral p(up)=p(down)=0,5. Dejemos que el árbol sea el siguiente:
100-(101,99)-(200,2,99,99)
lo que significa que en el primer paso sube o baja un dólar. En el segundo paso, el 101 pasa a 200 o 2, y el 99 se queda en 99 con seguridad. En este árbol, considere una llamada de 100. ¡En el nodo 101 vale 50, y en el nodo 99 vale 0. Por lo tanto, el delta en el nodo inicial debe ser (50-0)/(101-99) = 25 !
Consideremos ahora un segundo árbol con la misma notación:
100-(149.5,50.5)-(200,99,99,2) Este árbol tiene la misma distribución terminal que el primero, pero el delta en el nodo inicial es totalmente diferente (cercano a 0,5). Así que el delta es una función de la dinámica local y no sólo de la distribución terminal. Pueden existir dinámicas locales suficientemente tóxicas que lo hagan >1.

ps esto fue motivado por el siguiente post sobre Heston. En el primer árbol de arriba, el vol implícito se dispara si las acciones suben y va a cero si las acciones bajan.

Answer 4

@dm63 ha demostrado en su respuesta que, sin una restricción adicional, el delta en la configuración discreta puede superar $1$ . De forma análoga, en el escenario de tiempo continuo y precio de las acciones, suponga que la volatilidad del precio de las acciones por debajo de un umbral positivo desaparece y es una constante positiva por encima de ese umbral. Establezca el precio de la opción de compra europea en el umbral. Vemos que el precio de la opción de compra europea actual es cero cuando el precio actual está justo por debajo del umbral y positivo justo por encima del umbral. Por tanto, la delta en el umbral es infinita.

Sin embargo, con restricciones adicionales de suavidad y dependencia de la volatilidad, el delta de la llamada europea no será mayor que $1$ . Proporcionaré dicha condición y la prueba asociada.