Cómo estimar las probabilidades del mundo real

Question

En el mundo de las finanzas, Precios neutrales al riesgo nos permiten estimar el valor razonable de derivados utilizando el tipo libre de riesgo como rendimiento esperado de los subyacentes.

Sin embargo, el comportamiento de los activos financieros en el mundo real podría ser sustancialmente diferente a la evolución utilizada en un contexto de neutralidad al riesgo.

Por ejemplo, si quiero estimar la probabilidad en el mundo real de que un activo de renta variable alcance determinados umbrales, ¿qué modelos y técnicas de calibración podrían utilizarse?

En particular, algunas cuestiones que pueden surgir en la estimación de las probabilidades del mundo real son:

• Calibración : ¿Deben calibrarse las probabilidades del mundo real con los precios actuales del mercado o, alternativamente, deben utilizarse datos históricos para este tipo de estimaciones?
• Condiciones de no arbitraje : ¿Podrían relajarse o seguir desempeñando un papel en la evaluación de las probabilidades del mundo real?
• Rendimiento esperado : Suponiendo que ya he estimado la rentabilidad esperada de un activo $\mu$ ¿Qué precisión tendría una estimación en el mundo real que combinara un modelo de evolución ampliamente utilizado (por ejemplo Movimiento browniano geométrico ), con el uso de $\mu$ en lugar del tipo libre de riesgo $r$ ?

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Por los comentarios, entiendo que para estimar las probabilidades del mundo real:

• Debería utilizar los rendimientos esperados en lugar de la tasa libre de riesgo.
• La evolución del activo debe seguir respetando las condiciones de no arbitraje (es decir, la dinámica del mundo real debe seguir reproduciendo los precios actuales de las opciones vainilla).

Sin embargo, si sólo utilizamos $\mu$ en lugar de $r$ El comportamiento del activo subyacente podría no ser coherente con los precios de las opciones observados. Por ejemplo, si sólo cambiamos $r$ por $\mu$ (con $\mu>r$ ) la dinámica del activo subyacente llevará a precios de compra por encima de su precio de mercado actual, y a precios de venta por debajo de su precio de mercado.

Por lo tanto, además de utilizar los rendimientos esperados, ¿qué otro ajuste podría ser necesario para estimar las probabilidades del mundo real?

Cualquier documento o referencia sobre la estimación en el mundo real será muy apreciado.

Answer 1

Definitivamente, puedes calcular las probabilidades del mundo real. Por ejemplo, piense que las rentabilidades logarítmicas se distribuyen normalmente, tome la media y la desviación estándar de las rentabilidades logarítmicas pasadas y ta-da... Acaba de calcular las probabilidades del mundo real del activo subyacente. Por supuesto, su estimación es tan buena como sus suposiciones.

• Acabas de suponer que los rendimientos logarítmicos se comportan como una distribución normal (análoga al movimiento browniano, o muy cercana).
• Acaba de asumir que la media y la desviación estándar del activo no cambiarán hasta el vencimiento.
• También asumiste otras cosas menores.

Si se cumplen estos supuestos Para el momento del contrato, puede calcular la probabilidad en el mundo real de cada precio del activo en el futuro. El precio de su derivado será equivalente a la función del contrato. Por ejemplo, para la llamada europea $max(S_T - K,0)$ . Usted conoce los parámetros y la distribución de $S_T$ et $K$ es fijo. Así podrá obtener un precio justo por el contrato.

Lo que hace Black-Scholes es, sencillamente, deshacerse del parámetro de riesgo. Supongamos que la deriva $\mu = r - 0.5\sigma^2 + \lambda$ . Supongamos que $\lambda$ es la prima/parámetro de riesgo. Como es comprensible, la gente tiene diversas opiniones sobre el comportamiento de $\lambda$ . BS dice que si tomo una posición en el mercado subyacente con un cierto tamaño y dirección opuesta, puedo eliminar $\lambda$ bajo ciertos supuestos. Esto se llama cobertura delta ( $\Delta$ ). Dado que elimina todos los parámetros subjetivos, puede formar una cartera replicante (es decir, no requiere dinero, tampoco trae dinero). Si se puede demostrar que se gana dinero con las operaciones de una cartera replicante, se llama arbitraje. Si pierde dinero, no es una cartera de réplica. Se pueden utilizar probabilidades neutrales al riesgo en el mundo real siempre que se haga una cobertura delta si se trata de un mundo BS.

El problema con el BS, como con todos los demás modelos, es el conjunto de supuestos. Hoy en día se puede decir que utilizar una distribución de colas bajas para estimar las probabilidades de rentabilidad logarítmica es ridículo. Es cierto que se utiliza mucho. Pero es principalmente por conveniencia, no para la fijación de precios reales (inténtelo a su riesgo).

También hay que recordar que el modelo Black-Scholes fue anterior a toda la teoría que lo rodea. Les gustó tanto la simplicidad y versatilidad del modelo que pensaron que merecía una teoría. Puede leer la historia de ici . Cualquier divergencia seria del modelo BS resulta en ecuaciones horriblemente complejas y largas que son bastante confusas para la gente promedio de las finanzas (un grado más allá y demasiado complejo para la mayoría de la gente del planeta). Hace dos años, en una conferencia académica de Q-Finance, fui testigo de cómo un profesor felicitaba al presentador con las palabras "no entendí lo que estás haciendo, pero es hermoso" con diversión. En su defensa, él era el organizador principal y el presentador es un distinguido invitado de honor de una universidad muy reputada.

Para abordar sus preguntas directamente:

• Puede utilizar cualquiera de los dos o ambos. Lo único que importa es que puedas predecir los precios futuros. También debes poner un límite de periodo de retrospección si utilizas precios históricos. Según mi experiencia, ninguna calibración se mantiene durante mucho tiempo.
• El no arbitraje es quizás la condición más sólida empíricamente en los mercados financieros. El arbitraje es básicamente dinero gratis. Los mercados financieros están repletos de gente inteligente. Cualquier oportunidad de arbitraje (aunque sea rara*) se anulará en poco tiempo.
• No puedo enfatizar esto lo suficiente: "NO UTILICE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL O CUALQUIER DISTRIBUCIÓN DE COLA BAJA COMO SUPUESTO, A MENOS QUE SEA DE LA ACADEMIA ESCRIBIENDO UN TRABAJO". Mucha gente lo condenó.

*Una excepción reciente que he encontrado es el Bitcoin. Bitcoin anunció recientemente un horquilla El resultado es otra moneda llamada Bitcoin Cash. Algunos intercambios lo concedieron, otros no. La estrategia era simple: largo el intercambio concedido BTC y corto el no concedido. Tienes un Bitcoin cash gratis sin riesgo (a menos que los intercambios difieran mucho en los precios).