¿Por qué las Derivas no están en el Black Scholes Fórmula

Question

Esta pregunta me ha desconcertado durante un tiempo.

Todos sabemos geométrico browniano mociones derivas $\mu$:

$dS / S = \mu dt + \sigma dW$

y diferentes poblaciones tienen diferentes derivas de $\mu$. ¿Por qué las derivas de desaparecer en Negro Scholes? Intuitivamente, todo lo demás siendo igual, si una acción tiene una mayor deriva, no debería tener mayor probabilidad de terminar en-el-dinero (y mayor probabilidad de tener una mayor rentabilidad), y la opción de llamada debe ser un valor de más?

Hay una interfaz intuitiva y fácil-a-entender la respuesta? gracias.

Answer 1

Aquí par de consejos que pueden hacer que sea más claro:

• La deriva puede ser reemplazada por la tasa libre de riesgo a través de una construcción matemática llamados neutrales al riesgo probabilidad de fijación de precios.

• ¿Por qué salirse con la suya sin introducir errores? La razón radica en la capacidad de la instalación de una cartera de coberturas, por lo tanto el mercado no va a compensar la deriva por encima y más allá de la tasa libre de riesgo bajo riesgo-neutral probabilidad de fijación de precios.

• El tiempo de cobertura existe y la pareja se cumplen otras condiciones (por favor, consultar el Teorema de Girsanov) podemos introducir una neutrales al riesgo medida de manera que a la hora de aplicarlo a la ecuación diferencial y a través de la aplicación de Ito Cálculo de la deriva del término se desvanece, lo que simplifica enormemente la matemática.

• No es fácil llegar a una forma confiable de medir la deriva, ya que no es bien conocidos y de difícil estimación en la realidad. Del mismo modo, el real probabilidades son diferentes para cada activo subyacente y son difíciles de estimar debido a que los inversionistas requieren diferentes primas de riesgo para cada activo. Por lo tanto, ser capaz de tomar el desvío a través de riesgo neutral precios simplifica enormemente la derivación no sólo matemáticamente, pero también de forma intuitiva. Por favor, tenga en cuenta que la volatilidad del riesgo neutral caminos y rutas de acceso de bajo en el mundo real las probabilidades son idénticos, lo que difiere es la deriva del término vs tasa libre de riesgo.

• Tenga en cuenta que no todas las derivadas de las funciones puede ser derivada a través de neutrales al riesgo de precios, de hecho me atrevo a estimar que menos del 20% de todos los derivados contratados por los bancos de inversión pueden ser valorados a través de neutrales al riesgo de precios (en términos de número de diferentes instrumentos no volumen de negociación).

• Con el fin de comprender la razón técnica de la eliminación de la deriva a través de neutrales al riesgo de precios que usted necesita para caminar a través de las matemáticas y una de las más limpias y más intuitiva de los enfoques que he visto fue en Steven Shreve del libro, Cálculo Estocástico para Finanzas II, página 218-220 (edición de 2004)

Answer 2

Estar en la venta y la venta de opciones que de manera intuitiva se puede pensar en ello de esta manera:

Una opción es como cualquier otro producto que es producido a partir de los ingredientes y el porque de la situación competitiva de la productora de esto es hecho por el más barato de lo posible el proceso de producción.

Los ingredientes se encuentran en un simple (Black Scholes) configuración de un stock y un libre de riesgo de los bonos. Así que esto es donde el nombre de "derivados", proviene de: se deriva de otros productos más simples (el subyacente).

Ahora, para hacerlo aún más sencillo pensar en una llamada con un cero de la huelga en el subyacente. ¿Cómo sería el precio de una llamada? Bien, usted sería el precio es igual que la stock (hasta una corrección para el riesgo de tasa de interés libre)! Aquí la misma pregunta podría hacerse: ¿no Debería tener un precio superior con la base más alta a la deriva? La respuesta es no, porque esto ya está incluido en el precio del subyacente! Sería una especie de doble recuento de este efecto.

Con "real" de las opciones de la razón es la misma, lo único que cambia es que te tienes que adaptar la proporción de las acciones cuando el precio del subyacente cambios. Pero el original razonamiento permanece el mismo: La deriva no entra en el precio de los derivados, porque ya está incluido en el precio del subyacente.

Una muy legible intuitiva papel en este problema es un gigante en el campo, Emanuel Derman. Él puede ser encontrado aquí: El Chico de la Guía de Precios y Coberturas

Véase también mi respuesta a una pregunta similar aquí: ¿Cómo funciona el "riesgo-neutral marco de fijación de precios" de trabajo?

Answer 3

$$dS / S = \mu dt + \sigma dW \\ \\ dS / S -r dt= \mu dt - rdt + \sigma dW \\ \\ dS / S -r dt= [\frac{(\mu - r)}{\sigma}dt + dW]\sigma \\$$ Entonces, Girsanov nos dice que, mientras la prima de riesgo está delimitada desde abajo, podemos escribir $[\frac{(\mu - r)}{\sigma}dt + dW]\sigma$ como $\sigma d\tilde{W}$ donde $\tilde{W}$ es simplemente otro movimiento browniano con media 0 y varianza igual a su tiempo de paso. Por lo tanto, $$dS / S = rdt + \sigma d\tilde{W} \\$$

Otra forma de pensar acerca de esto es que, en el Black-Scholes mundo de la opción de fijación de precios, los mercados se asume que la fricción menor y, por tanto, de todos los bienes que pueden ser perfectamente cubiertas. Si perfectamente podemos cubrir nuestras activo subyacente, en teoría, no debería tener volatilidad y debe crecer a la tasa libre de riesgo, r.

Answer 4

Recientemente me encontré con una interesante explicación intuitiva:

Supongamos driftless mercado. Precio de mercado es de 105, precio de ejercicio es de 100. Opción de compra cuesta 8, opción 3. (valor intrínseco de la llamada es de 5, el valor de tiempo de ambos es de 3)

Ahora que el mercado empieza a la deriva hacia arriba de forma masiva. Que decir, que es probable que el precio de la llamada mayor, por ejemplo, a las 10. ¿También precio superior? Probablemente no, ya que es menos probable que va a terminar en el dinero. Probablemente el precio aún más bajo, por ejemplo, en la 2.

Pero en ese caso, violan claramente put/call paridad, y es posible para mí para comprar la llamada, y cubrir con el puesto, algo de dinero en efectivo y algunas acciones y ganar libres de riesgo beneficio de usted. Debido a la put/call paridad, los precios de poner debe subir junto con el precio de la llamada (deben tener el mismo valor de tiempo), lo cual es incompatible con la dependencia en la deriva.

No presté atención a las tasas de interés para la claridad.

Answer 5

"Intuitivamente, todo lo demás siendo igual, si una acción tiene una mayor deriva, no debería tener mayor probabilidad de terminar en-el-dinero (y mayor probabilidad de tener una mayor rentabilidad), y la opción de llamada debe ser un valor de más?"

Todas estas respuestas se centran en el mal aspecto de la cuestión - es cierto que las matemáticas hace que la deriva de la deserción de los BS de la PDE, pero eso no explica por qué intuitivamente que se siente mal.

La razón principal de esto es que usted está confundiendo la inversión del proceso de pensamiento con los precios proceso de pensamiento.

Para entenderlo mejor, mírelo de esta manera: imagina que tienes dos poblaciones de $S_1$ y $S_2$, con diferentes subyacente Browniano de las mociones, los mismos sigma, pero diferentes derivas $\mu_1$ y $\mu_2$ (digamos $\mu_1 > \mu_2$). Esto no introducir el arbitraje, como la subyacente Browniano, los movimientos son diferentes. Desde el todo, pero la deriva es el mismo, la BS de la PDE termina siendo el mismo, así

1. las opciones de llamada en $S_1$ y $S_2$ tienen el mismo precio, que es lo mismo que decir que la deriva no tiene ningún impacto en el precio.

Su intuición, sin embargo, le informa que:

2. la llamada en $S_1$ debe ser un valor de más, porque hay una mayor probabilidad de que expira en el dinero (equivalente a decir que la deriva de los asuntos).

1 y 2 son correctas, y no hay ninguna contradicción entre los dos. 1. está dada por la costumbre de BS lógica, donde el precio se ajusta de tal manera que no hay arbitraje y la derivada es perfectamente cubiertas. 2. está dada por el proceso seguido en el proceso de inversión, donde lo que importa es el trade-off entre riesgo y recompensa (o el precio de mercado del riesgo). Debido a la cobertura, el precio de la opción no se preocupa de lo que el trade-off entre riesgo y recompensa está en el mercado, es ajeno a cualquier precio de mercado, de riesgo. Desde el precio de mercado del riesgo está directamente ligada a la deriva, esto debería hacer que sea más claro por qué la deriva no importa en este mundo.