Ejemplos prácticos de aplicación del lema de Ito.

Question

En la mayoría de los libros de texto se deriva la lema de Ito (en diferentes niveles de tecnicidad dependiendo de la audiencia prevista) y luego solo se presentan los ejemplos clásicos de movimiento browniano geométrico y la fórmula de Black-Scholes.

Mi pregunta
Estoy buscando referencias donde se presenten muchos ejemplos trabajados de aplicación de la lema de Ito de una manera fácil de seguir, paso a paso. También se deberían cubrir casos más avanzados.

Answer 1

Estos son todos ejemplos de la Fórmula de Ito en su forma general (con variaciones cuadráticas):

Answer 2

Pensé que este era un ejemplo interesante para añadir. Se trata de un "modelo de proporción" de hábito (en contraposición a un "modelo de diferencia" de hábito). Ver, por ejemplo, Abel (1990, American Economic Review). Deja $$x_t = \lambda \int_{-\infty}^t e^{-\lambda(t-s)} c_s ds.$$ (Para dar contexto, $x_t$ es un índice de hábito logarítmico que se obtiene a partir de un promedio geométrico de consumo pasado, donde $c_t$ es consumo logarítmico.) Entonces, por la fórmula de Ito, \begin{align} d x_t &= \lambda \int_{-\infty}^t -\lambda e^{-\lambda(t-s)} c_s ds \, dt + \lambda c_t dt \\ &= \lambda (c_t - x_t) dt. \end{align> La parte que me resulta interesante es que es fácil cometer un error al pensar que la respuesta es $dx_t = \lambda c_t dt$ o $d x_t = -\lambda x_t dt.

EDITAR: Aquí, $c_s$ es algún proceso estocástico bien comportado. Esto es esencialmente lo mismo que 9-1 (a) anterior cuando $dc_t = dW_t$, donde $W$ es una marcha browniana. Este tipo de cálculo parece aparecer con cierta frecuencia (modelo de tasas de interés de Hull-White), pero no parece utilizar directamente el lema de Ito.