Ejemplos de trabajo de aplicación del lema de Ito.

Question

En la mayoría de los libros de texto se deriva la lema de Itō (en diferentes niveles de tecnicismo según la audiencia prevista) y luego se presentan solo los ejemplos clásicos de movimiento browniano geométrico y la ecuación de Black-Scholes.

Mi pregunta
Estoy buscando referencias donde se presentan muchos ejemplos trabajados de aplicación de la lema de Itō de manera fácil de seguir, paso a paso. También se deben abordar casos más avanzados.

Answer 1

Estos son todos ejemplos sobre la Fórmula de Ito en su forma general (con variaciones cuadráticas):

Answer 2

Pensé que este era un ejemplo interesante para agregar. Se trata de un "modelo de proporción" del hábito (en oposición a un "modelo de diferencia" del hábito). Véase, por ejemplo, Abel (1990, American Economic Review). Sea $$ x_t = \lambda \int_{-\infty}^t e^{-\lambda(t-s)} c_s ds. $$ (Para el contexto, $x_t$ es un índice logarítmico del hábito que se obtiene por un promedio geométrico del consumo pasado, donde $c_t$ es el logaritmo del consumo). Entonces, por la fórmula de Ito, \begin{align} d x_t &= \lambda \int_{-\infty}^t -\lambda e^{-\lambda(t-s)} c_s ds \, dt + \lambda c_t dt \\ &= \lambda (c_t - x_t) dt. \end{align> La parte que me resulta interesante es que es fácil caer en el error de pensar que la respuesta es $dx_t = \lambda c_t dt$ o $d x_t = -\lambda x_t dt.

EDICIÓN: Aquí, $c_s$ es algún proceso estocástico bien comportado. Esto es esencialmente lo mismo que en el punto 9-1 (a) anterior cuando $dc_t = dW_t$, donde $W$ es una movimiento browniano. Este tipo de cálculo parece aparecer con cierta frecuencia (modelo de tasas de interés Hull-White), pero no parece utilizar directamente el lema de Ito.