Soy nuevo en microeconomía y me cuesta entender la función de elección en la práctica. Por ejemplo, digamos que tengo un conjunto X=(a,b,c). ¿Cuántas funciones de elección posibles podría tener teóricamente? Otro concepto relacionado con esto es la IIA (Independencia de alternativas irrelevantes). Si la función de elección debe cumplir esta propiedad, ¿cómo reduce el número de funciones de elección?
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En un contexto económico, la interpretación más natural de una función de elección es que indica la(s) alternativa(s) que más satisface a un consumidor. Por lo tanto, cada consumidor podría tener una función de elección potencialmente diferente.
IIA impone un requisito de consistencia que filtra un tipo, en lugar de cualquier número específico, de funciones de elección. Imagina la siguiente función de elección (parcial): \begin{align} c(\{x,y\}) & = \{x\} \\ c(\{x,y,z\}) & = \{y\} \\ c(\{x,z\}) & = \{x\} \\ c(\{y,z\}) & = \{y\} \\ \end{align} Entonces, el consumidor elige $x$ cuando solo $x$ y $y$ son factibles, pero elige $y$ cuando $x,y,z$ son todos factibles, y $z$ se considera inferior tanto a $x$ como a $y$. Este comportamiento no es inusual en la realidad (por ejemplo, el efecto señuelo). Sin embargo, este sería el tipo de función de elección que IIA busca eliminar, porque la introducción de una alternativa claramente inferior y, por lo tanto, irrelevante $z$ no debería revertir la clasificación $x$ y $y$.
Respuesta al comentario
Para determinar el número único de posibles funciones de elección para un conjunto dado de alternativas, necesitamos algunas notaciones. Recuerda que una función de elección es una función de valores de conjunto (o correspondencia). Dado un conjunto $X$ de alternativas, sea $\mathcal A$ el conjunto de todos los subconjuntos no vacíos posibles de $X$, donde $A\in\mathcal A$ se interpreta como un conjunto de alternativas factible (por ejemplo, dentro del presupuesto de un consumidor), y $\mathcal A$ es una colección de todos los posibles conjuntos factibles. Una función de elección $c(\cdot)$ asigna cada conjunto factible $A$ a uno de sus propios subconjuntos, es decir, $c(A)\subseteq A$. Dado que se asume típicamente que una función de elección no es vacía, entonces para cada $A$, el número de valores posibles para $c(A)$ es $2^{|A|}-1$.
Definamos dos funciones de elección $c_1$ y $c_2$ como distintas si existe al menos un $A\in\mathcal A$ tal que $c_1(A)\ne c_2(A)$. Entonces el problema se convierte en encontrar la cantidad de formas de combinar elementos de todos los $A\in\mathcal A$. Por lo tanto, el número único de funciones de elección posibles en $(X,\mathcal A)$ es \begin{equation} \prod_{A\in\mathcal A}(2^{|A|}-1) \label{num} \tag{1} \end{equation}
Supongamos que $X=\{x,y,z\}$ y sea $\mathcal A$ el conjunto potencia de $X$ (excluyendo $\varnothing$). Más explícitamente, \begin{equation} \mathcal A = \Bigl\{ \{x\},\{y\},\{z\}, \{x,y\},\{x,z\},\{y,z\}, \{x,y,z\} \Bigr\} \end{equation} Según $\eqref{num}$, el número único de funciones de elección posibles es \begin{equation} 1\times1\times1\times7\times7\times7\times127=43,561 \end{equation}
Descubrir cómo IIA reduce este número es tedioso aunque no imposible. También depende de la versión de IIA que se esté utilizando. Dejo ese ejercicio para ti.
