¿Cómo encontrar $\phi$, que denota la correlación de señales entre traders informados?

Question

Dado que no tengo respuesta en Finanzas Cuantitativas en mi pregunta, publico aquí el problema para marcar algunas otras categorías

Las siguientes suposiciones forman parte del paper de Back, Chao y Willard y no puedo resolver la estadística denotada como $\phi$ en lo sucesivo. Agradecería mucho si alguien pudiera ayudarme. A continuación establezco las suposiciones y las ecuaciones de interés

Supongamos que en el mercado hay $N\geq 1$ agentes informados, que negocian un activo riesgoso continuamente en el intervalo de tiempo $[0,1)$. Cada agente $i$ recibe una señal de media cero $\tilde{s}^i$ en el tiempo 0. Suponemos que las señales y el valor de liquidación del activo tienen una distribución normal conjunta no degenerada que es simétrica en las señales. La simetría significa que la distribución conjunta del valor del activo y las señales $\tilde{s}^1,...,\tilde{s}^N$ es invariante a una permutación de los índices $1,...,N$. Sea $\tilde{v}$ la expectativa del valor de liquidación condicional a la información combinada de los operadores informados. Por normalidad, $\tilde{v}$ es una función afín de $\tilde{s}^i$. Al reescalar los $\tilde{s}^i$ si es necesario, podemos asumir sin pérdida de generalidad que

$$\begin{equation}\tilde{v}=\bar{v}+\Sigma^{N}_{i=1} s^i\end{equation}$$ para una constante $\bar{v}$. Por simplicidad, asumimos $\bar{v}=0$. Sea $$\begin{align}\phi=\frac{var(\tilde{v})}{var(N\tilde{s}^i)}\end{align}$$

La estadística $\phi$ es una medida de la calidad de la información de cada agente. Específicamente, es el $R^2$ en la regresión lineal de $\tilde{v}$ en $\tilde{s}^i$, es decir, es el porcentaje de la varianza en $\tilde{v}$ que es explicado por la información del operador.

Denotando $\rho$ al coeficiente de correlación de $\tilde{s}^i$ con $\tilde{s}^j$ para $i\neq j$, se puede calcular $\phi$ para $N>1$ como

$$\begin{equation}\phi=\frac{1}{N}+\frac{N-1}{N}\rho\end{equation}$$

Si $\phi=1$, entonces o bien $N=1$ o las $\tilde{s}^i$ están perfectamente correlacionadas. En cualquier caso, cada operador informado tiene información perfecta sobre $\tilde{v}$.

Mis preguntas son las siguientes

1. ¿Qué significa intuitivamente "una distribución normal conjunta no degenerada" y en particular me gustaría entender el término no degenerada?
2. ¿Qué significa "invariante a índices"?
3. ¿El valor de liquidación es igual a la suma de las señales, esto proviene de la suposición de que es una función afín de $\tilde {s} ^ i$ ?
4. ¿Cómo encontramos esa medida $\phi$? ¿es de la regresión lineal de $\tilde{v}$ en $\tilde{s}^i$?
5. ¿Cómo se transforma $\phi$ en $$\begin{equation}\phi=\frac{1}{N}+\frac{N-1}{N}\rho\end{equation}$$

Aquí hay un enlace al paper

Answer 1

1. Una junta normal degenerada es una distribución en la que no se puede encontrar una función de densidad de probabilidad para la distribución. Se asume que se puede hacerlo. (La matriz de covarianza es invertible).

2. Sea $f(s_1,s_2\dots,s_n,v)$ la distribución. Si intercambio $s_1$ por $s_2$, $f(s_2,s_1,\dots,s_n,v) = f(s_1,s_2\dots,s_n,v)$, la distribución no cambia. Y puedes intercambiar tantos índices (señales) como desees.

3. La suposición de que la distribución es conjuntamente normal implica que $\tilde{v}$ es una función afín de $\tilde{s}_i$, lo que luego implica la suma de señales.

4. Regresa $\tilde{v}$ en $\tilde{s}_i$ y calcula $R^2$ (el Coeficiente de determinación).

5. Esto es algo que espero que alguien más pueda responder.

Answer 2

Bueno, intentaré responder 4.

Sabemos que el valor de liquidación de activos $\tilde{v}$ es una función afín de las señales, por lo tanto tenemos que $$\tilde{v}=\bar{v}+\sum_{i=1}^{N}\tilde{s}^i\Rightarrow \tilde{v}=\bar{v}+N\underbrace{\frac{\sum_{i=1}^{N}\tilde{s}^i}{N}}_{\tilde{s}^i}\Rightarrow\tilde{v}=\bar{v}+N\tilde{s}^i$$ donde $\tilde{s}^i$ es la señal promedio que es una estadística suficiente para inferir el valor de liquidación del activo condicionado a esta en lugar de la señal individual, ya que también se basa en la suposición de que las señales y el valor de liquidación del activo tienen una distribución normal conjunta no degenerada que es simétrica en las señales. Por lo tanto, la expectativa del valor de liquidación condicionado a la información combinada de los traders informados se da por el teorema de proyección (proyectando $\tilde{s}^i$ en $\tilde{v}$):

$$\mathbb{E}[\tilde{v}|\tilde{s}^i]=\mathbb{E}[\tilde{v}]+\frac{\mathbb{C}ov(\tilde{v},\tilde{s}^i)}{\mathbb{V}ar(\tilde{s}^i)}\left(\tilde{s}^i-\mathbb{E}(\tilde{s}^i)\right)\Rightarrow\mathbb{E}[\tilde{v}|\tilde{s}^i]=\bar{u}+\frac{\mathbb{C}ov(\tilde{v},(\tilde{v}-\bar{v})/N)}{\mathbb{V}ar(\tilde{s}^i)}\tilde{s}^i\Rightarrow\\ \mathbb{E}[\tilde{v}|\tilde{s}^i]=\bar{v}+\frac{\mathbb{V}ar(\tilde{v})}{N^2\mathbb{V}ar(\tilde{s}^i)}\sum_{i=1}^{N}\tilde{s}^i\Rightarrow\mathbb{E}[\tilde{v}|\tilde{s}^i]=\bar{v}+\underbrace{\frac{\mathbb{V}ar(\tilde{v})}{\mathbb{V}ar(N\tilde{s}^i)}}_{\beta^{i}}\sum_{i=1}^{N}\tilde{s}^i$$

donde $\beta^{i}$ denota el coeficiente beta de la regresión lineal de $\tilde{v}$ en $\tilde{s}^i$, que coincide con el coeficiente de $R$-cuadrado y como consecuencia

$$\phi=\frac{\mathbb{V}ar(\tilde{v})}{\mathbb{V}ar(N\tilde{s}^i)}$$