Competencia imperfecta entre comerciantes informados - Back, Chao y Willard

Question

Las siguientes suposiciones forman parte del documento de Back, Chao y Willard y no puedo resolver la estadística que se denota como $\phi$ en la secuela. Me alegraría si alguien pudiera ayudarme. A continuación establezco los supuestos y las ecuaciones de interés

Supongamos que en el mercado hay $N\geq 1$ agentes informados, que negocian un activo de riesgo de forma continua en el intervalo de tiempo $[0,1)$ . Cada agente $i$ recibe una señal de media cero $\tilde{s}^i$ en el momento 0. Suponemos que las señales y el valor de liquidación del activo tienen una distribución normal conjunta no degenerada que es simétrica en las señales. La simetría significa que la distribución conjunta del valor del activo y de las señales $\tilde{s}^1,...,\tilde{s}^N$ es invariable ante una permutación de los índices $1,...,N$ . Sea $\tilde{v}$ denotan la expectativa del valor de liquidación condicionada a la información combinada de los operadores informados. Por normalidad, $\tilde{v}$ es una función afín del $\tilde{s}^i$ . Al reescalar el $\tilde{s}^i$ si es necesario, podemos suponer sin pérdida de generalidad que

\begin {Ecuación} \tilde {v}= \bar {v}+ \Sigma ^{N}_{i=1} s^i \end {Ecuación} para una constante $\bar{v}$ . Para simplificar, suponemos que $\bar{v}=0$ . Dejemos que \begin {align} \phi = \frac {var( \tilde {v})}{var(N \tilde {s}^i)} \end {align}

La estadística $\phi$ es una medida de la calidad de la información de cada agente. En concreto, es la $R^2$ en la regresión lineal de $\tilde{v}$ en $\tilde{s}^i$ es decir, es el porcentaje de la varianza en $\tilde{v}$ que se explica por la información del comerciante.

Dejar $\rho$ denotan el coeficiente de correlación de $\tilde{s}^i$ con $\tilde{s}^j$ para $i\neq j$ se puede calcular $\phi$ para $N>1$ como

\begin {Ecuación} \phi = \frac {1}{N}+ \frac {N-1}{N} \rho\end {Ecuación}

Si $\phi=1$ Entonces, o bien $N=1$ o el $\tilde{s}^i$ están perfectamente correlacionadas. En cualquier caso, cada comerciante informado tiene información perfecta sobre $\tilde{v}$ .

Mis preguntas son las siguientes

1. qué significa intuitivamente "una distribución normal conjunta no degenerada" y en particular me gustaría entender el término no degenerado.
2. ¿Qué significa "invariante a los índices"?
3. el valor de liquidación es igual al sume de las señales, ¿se debe esto a la suposición de que es una función afín del $\tilde{s}^i$ ?
4. ¿Cómo encontramos esa medida $\phi$ y dónde se encuentra este $N$ en el deonominador de la fracción proviene de (es decir $var(N\tilde{s}^i)$ )? ¿es de la regresión lineal de $\tilde{v}$ en $\tilde{s}^i$ ?
5. Cómo $\phi$ se transforma en \begin {Ecuación} \phi = \frac {1}{N}+ \frac {N-1}{N} \rho\end {Ecuación}

Aquí hay un enlace del periódico

Answer 1

Bueno, intentaré responder a la 4.

Sabemos que el valor de liquidación de los activos $\tilde{v}$ es una función afín de los singales por lo que tenemos que $$\tilde{v}=\bar{v}+\sum_{i=1}^{N}\tilde{s}^i\Rightarrow \tilde{v}=\bar{v}+N\underbrace{\frac{\sum_{i=1}^{N}\tilde{s}^i}{N}}_{\tilde{s}^i}\Rightarrow\tilde{v}=\bar{v}+N\tilde{s}^i$$ donde el $\tilde{s}^i$ es la media singal que es un estadístico suficiente para inferir el valor de liquidación del activo condicionándolo en lugar de la señal individual, ya que esto también es impulsado por el supuesto de que las señales y el valor de liquidación del activo tienen una distribución normal conjunta no degenerada que es simétrica en las señales. Por lo tanto, la expectativa del valor de liquidación condicionada a la información combinada de los operadores informados viene dada por el teorema de la proyección (proyectando $\tilde{s}^i$ en $\tilde{v}$ ):

$$\mathbb{E}[\tilde{v}|\tilde{s}^i]=\mathbb{E}[\tilde{v}]+\frac{\mathbb{C}ov(\tilde{v},\tilde{s}^i)}{\mathbb{V}ar(\tilde{s}^i)}\left(\tilde{s}^i-\mathbb{E}(\tilde{s}^i)\right)\Rightarrow\mathbb{E}[\tilde{v}|\tilde{s}^i]=\bar{u}+\frac{\mathbb{C}ov(\tilde{v},(\tilde{v}-\bar{v})/N)}{\mathbb{V}ar(\tilde{s}^i)}\tilde{s}^i\Rightarrow\\ \mathbb{E}[\tilde{v}|\tilde{s}^i]=\bar{v}+\frac{\mathbb{V}ar(\tilde{v})}{N^2\mathbb{V}ar(\tilde{s}^i)}\sum_{i=1}^{N}\tilde{s}^i\Rightarrow\mathbb{E}[\tilde{v}|\tilde{s}^i]=\bar{v}+\underbrace{\frac{\mathbb{V}ar(\tilde{v})}{\mathbb{V}ar(N\tilde{s}^i)}}_{\beta^{i}}\sum_{i=1}^{N}\tilde{s}^i$$

donde $\beta^{i}$ denota el coeficiente beta de la regresión lineal de $\tilde{v}$ en $\tilde{s}^i$ que coinciden con el $R$ -coeficiente cuadrático y como consecuencia

$$\phi=\frac{\mathbb{V}ar(\tilde{v})}{\mathbb{V}ar(N\tilde{s}^i)}$$