Máximo beneficio al operar en un camino aleatorio con una estrategia específica

Question

Mi pregunta está relacionada con este hilo, pero estoy interesado en un caso especial. Supongamos que el precio de un activo comienza en 100 USD y cambia de acuerdo con una marcha aleatoria geométrica; un paso del 1% hacia arriba o hacia abajo en cada segundo. Comienzas con un capital de 100 USD y pones 100 USD en cada operación.

La estrategia es un intercambio muy simple de un solo lado. Dos órdenes se establecen repetidamente: una orden de compra en $x_{buy}=(100-1)^{n1}$ y luego una orden de venta en $x_{sell} = (100+1)^{n_2}$, donde $n_1$ y $n_2$ son enteros positivos.

Sabemos que el precio alcanzará $x_{buy}$ y $x_{sell}$ un número infinito de veces, por lo que esta estrategia está determinada a ser rentable (por pequeña que sea) a largo plazo. El problema es que es una estrategia extremadamente lenta.

Supongamos que quieres maximizar la ganancia esperada durante un período de 1 año. ¿Qué valores para $n_1$ y $n_2$ son óptimos?

Answer 1

Si asumes que la dinámica de $S_t$ es un movimiento browniano geométrico (o una caminata aleatoria simétrica simple discreta), hay un 100% de probabilidad de que la acción llegue a 0. Esto se puede demostrar utilizando cadenas de Markov y tiempos de parada, pero también se puede demostrar utilizando martingalas, es decir, todas las martingalas no negativas convergen, en este caso, converge a 0.

Intuitivamente, puedes pensarlo así; si golpearas cada valor posible, entonces con suficiente tiempo, lo harás - por lo tanto, deteniéndote en 0.

En tu caso, sí, la acción golpeará $x_{compra}$ y $x_{venta}$ infinitas veces, SI la acción puede volverse negativa. Pero en realidad, una vez que $S_t=0$, el juego se detiene, lo que significa que puedes terminar con menos patrimonio del que comenzaste

Answer 2

Interesante propuesta, pero si tu movimiento hacia arriba o hacia abajo es aleatorio, a la larga será una probabilidad del 50% hacia arriba o hacia abajo, y la ganancia o pérdida de "arriba" es la misma que la ganancia o pérdida del movimiento "abajo", por lo que tienes una ganancia esperada de -1 * 0.5 + 1 * 0.5 = 0.

Y como alguien mencionó en los comentarios, podrías estar aumentando tu capital (aleatoriamente) hasta que entres en una operación y te enfrentes a una racha de 100 movimientos en la dirección opuesta y quedar en bancarrota.