Prueba de que no se puede vencer a un paseo aleatorio

Question

Se especula mucho sobre hasta qué punto las series financieras son aleatorias (y qué tipo de aleatoriedad prevalece).

Quiero darle la vuelta a la pregunta y preguntar:

¿Existe una prueba matemática de que, sea cual sea la estrategia de negociación que se utilice, no se puede vencer a un paseo aleatorio (es decir, el valor esperado siempre será 0, suponiendo que no haya deriva)?

(He encontrado este entrada del blog en el que el autor utilizó la llamada "regla del 75%" para supuestamente superar un paseo aleatorio, pero creo que se equivocó en la distinción entre precios y rendimientos. Este método sólo funcionaría si se tuviera un rango de precios permitidos (por ejemplo, una serie de reversión media). Véase, por ejemplo aquí para una discusión).

Answer 1

Puedo ayudarte a superar el paseo aleatorio "de la manera que quieras", es decir, el valor esperado $E[\$ ] $ will always be positive even assuming no drift. However, I have to warn people that $ E[ \$] > 0$ NO es una condición adecuada para "vencer" en la realidad (al menos para mí).

Definamos algunas notaciones matemáticas para la derivación, y reformulemos (simplifiquemos) la pregunta de vonjd sin perder generalidad. Supongamos que un comerciante juega un juego justo, y su excedente $X(0), X(1), X(2), ... X(t)$ es una martingala.

P: ¿Puede el comerciante encontrar un tiempo de parada $s$ tal que $E[X($ s $)] > X(0)$ ?

• Una prueba que apoya la respuesta de Bootvis, para comparar, considere una estrategia de comercio normal que apuesta uniformemente. Entonces,

$$\begin{align*}E[X(s)] &= E[ E[X(s)|X(s-1), X(s-2),..., X(0)] ] \\ &= E[X(s-1)] = E[X(s-2)] = ... = E[X(0)] = X(0).\end{align*}$$

• Ahora, considere una estrategia de "doble apuesta". Seguimos duplicando su operación perdedora hasta la primera victoria . Fijemos el excedente inicial, $X(0) = 0$ para simplificar.

En consecuencia, $X(k) = X(k-1) + G(k)$ , donde $G(k)=\pm 2^{k}$ con probabilidad $1/2$ . Obsérvese que obtenemos la potencia $(k)$ de $2$ en $G(k)$ debido a la "doble apuesta". Nuestro mercado sigue siendo un paseo aleatorio.

Esta estrategia está diseñada para parar a la vez $s = min{k}$ s.t. $G(k) > 0$ (Tenga en cuenta que $Prob{s=infinity} = 0$ )

Computar $E[X(s)]$ condicionando a s:

$$\begin{align*} E[X(s)] &= E[E[X(s)|s]] = \sum_{k=1}^{\infty} E[X(s)|s=k] * Prob{s=k} \\ &= \sum_{k=1}^{...} (-1-2-4-8...-2^{(k-1)} + 2^{k}) * (1/2)^{k} \\ &= \sum_{k=1}^{...} 1 * (1/2)^k = 1 > 0 = X(0)\end{align*}$$

Conclusión:

Un comerciante puede hacer $E[X(s)]>0$ para el paseo aleatorio utilizando la estrategia de doble apuesta. Demostramos que se puede batir el paseo aleatorio en su definición de "batir", es decir, valor esperado > 0.

Esto es en realidad una prueba simplificada que apoya la respuesta de Akshay. Se llame como se llame: bombeo de volatilidad, estrategia de Kelly, cartera de crecimiento óptimo, etc. Estas ideas simplemente hacen una pregunta más: ¿por qué doble? ¿Existe un ratio de apuesta óptimo por ... (varias razones y suposiciones)?

• ADVERTENCIA: Sí, el valor esperado es efectivamente positivo, y podría ser una prueba adecuada para las personas que creen que la estrategia ganadora consiste en buscar $E[X(s)]>0$ . Por desgracia, esto NO es adecuado en la realidad, al menos para mí. Estáis avisados.

• A $E[X(s)]>0$ La estrategia está garantizada para hacer una verdadera fortuna si y sólo si tenemos "una cantidad ilimitada de capital". Para los detalles (larga historia), ver wiki: Sistema de apuestas Martingale .

• Se preguntarán qué debemos hacer si sólo disponemos de un capital limitado. En realidad, el criterio de Kelly ofrece el efecto de la estrategia de doble apuesta para un capital limitado. Por ejemplo, si tiene una señal de trading muy débil (cercana al paseo aleatorio en el que no hay ninguna señal), el criterio de Kelly le recomendará apostar algo como \$1 (initially) for \$ 1M de capital, y aumentar/disminuir tu posición en un determinado % cuando pierdas/ganes. Sí, \$1M indeed looks like unlimited capital to \$ 1.

• (Del comentario) No hay contradicción con el sentido común de que "independencia pura = cero E[PnL]". $E[] > 0$ en mi ejemplo y la paradoja de vonjd'd Parrondo se aprovechan efectivamente de una especie de dependencia. Mientras que la paradoja de Parrondo explota la dependencia entre dos partidas perdedoras, la mía explota la dependencia de mis operaciones perdedoras (que es menos evidente). Pero advierte de nuevo: ¡Esto es a costa del riesgo de ruina! Aunque las estrategias Kelly y vol-pump eliminan el riesgo de ruina, siguen sufriendo el riesgo de tendencia.

Answer 2

Si el precio de cada activo sigue un camino aleatorio independiente sin deriva, entonces cada posición tiene un rendimiento esperado de cero. Por lo tanto, en la expectativa, no hay ninguna combinación de posiciones que tenga una expectativa diferente de cero.

Answer 3

Ese puesto lleva desde marzo. O no se ha dado cuenta, o está intentando que la gente haga clic en el libro.

En la siguiente afirmación, ¿no está dando a entender que "rw" es un retorno (como en....random walk)?

rw <- rnorm(100)

En las siguientes declaraciones, ¿no está llamando "comercio" a la DIFERENCIA DE VUELTAS? ¿No es eso un sinsentido?

if(rw[i] < m) trade[i] <- (rw[i+1]-rw[i])
if(rw[i] > m) trade[i] <- (rw[i]-rw[i+1])

A partir de ahí, ¿no es todo una pérdida de tiempo? Igualmente, cuando abrí ese archivo .pdf, lo primero que vi fue el nombre de Sornette. No hay necesidad de seguir leyendo.

En cuanto a las "pruebas", ¿cómo van a ponerse de acuerdo sobre las propiedades del mercado? Si no se puede, la idea de una "prueba" se esfuma.

Answer 4

He aquí una prueba más o menos formal del hecho de que "el sistema no puede ser vencido". El argumento funciona siempre que el proceso subyacente sea un martingala . En particular, es válido para un paseo aleatorio sin deriva.

Dejemos que $S=\{S_n\}$ sea una martingala de tiempo discreto que represente una serie de juegos jugados en tiempos $n=1,2,...$ . Supongamos que $S_0=0$ (no hay juego en el momento $n=0$ ). Sea $\mathcal A=\{\mathcal A_n\}$ ser un filtración de $\sigma$ -algebras $\mathcal A_0\subset \mathcal A_1\subset\ ...$ , de manera que el proceso $S$ es adaptado con respecto a $\mathcal A$ es decir $S_n$ es $\mathcal A_n$ -medible para cada $n$ . Intuitivamente, esto implica que $\mathcal A_n$ contiene toda la información sobre los resultados del juego después de la primera $n$ rondas, y el valor de $S_n$ es conocido por el jugador en el momento $n$ .

Podemos pensar en la diferencia $S_n-S_{n-1}$ como las ganancias netas por unidad de apuesta en el juego $n$ . Desde $S$ es una martingala, $$\mathbb E(S_n-S_{n-1}|\mathcal A_{n-1})=0,\qquad n=1,2,... $$ Ahora dejemos que $C=\{C_n\}$ ser un previsible proceso acotado, es decir $C_n$ es $\mathcal A_{n-1}$ -medible y $$\sup|C_n(\omega)|\leq K $$ para cada $n=1,2,...$ y alguna constante $K$ . $C_n$ representa la apuesta del jugador en el juego $n$ . Obviamente, el valor de $C_n$ debe determinarse basándose en el historial hasta el momento $n-1$ (el jugador no tiene información sobre el valor de $S_n$ antes de que se juegue la n-ésima ronda). Por lo tanto, las ganancias totales hasta el momento $n$ son $$X_0=0,\qquad X_n=\sum\limits_{k=1}^{n}C_k(S_k-S_{k-1}),\quad n\geq1.$$ Dado que el proceso $C$ es previsible y acotado, utilizando las propiedades estándar de la media condicional, tenemos que
$$\mathbb E(X_n-X_{n-1}|\mathcal A_{n-1})=\mathbb E(C_n(S_n-S_{n-1})|\mathcal A_{n-1})= C_n\mathbb E(S_n-S_{n-1}|\mathcal A_{n-1})=0$$ para cada $n=1,2,...$ . En otras palabras, $X=\{X_n\}$ es un proceso integrable adaptado tal que $$\mathbb E(X_n|\mathcal A_{n-1})=X_{n-1}$$ para todos $n\geq 1$ , es decir, es una martingala en sí misma. Se deduce inmediatamente que $\mathbb E(X_n|\mathcal A_{m})=X_m$ cuando $m<n$ y que la media incondicional $\mathbb E(X_n)=\mathbb E(X_0)=0$ no depende de $n$ .

"Probabilidad con Martingales" de Williams es una referencia buena y bastante estándar para estas cosas.

Answer 5

Creo que quiere decir que cualquier autofinanciación La estrategia de negociación le daría una rentabilidad nula -lo que ocurrirá-, ya que el principio de no arbitraje lo garantiza.

Por ejemplo, supongamos que tenemos una acción cuya rentabilidad sigue un patrón de paseo aleatorio con una rentabilidad esperada igual a cero. La única manera de que esto ocurra es (a) que la acción se mantenga fija en un valor K o (b) que la acción tenga la misma probabilidad de ser +x% o -x% mañana o (c) que la acción pueda ir +x% con probabilidad p1 y -y% con probabilidad p2 con p1*x + p2*y = 0.

Ahora, para todos estos casos, puedo tener un straddle largo basado en opciones centrado en K. Con volatilidad no nula (tanto estocástica como determinada), es lejos es más probable que mi straddle me dé un rendimiento positivo que no. La desventaja es que otros operadores también se dan cuenta de este hecho y, por lo tanto, no puedo tener ese straddle de forma gratuita (y, por lo tanto, ganar una rentabilidad esperada limpia y no nula).

Así que es no el proceso iid por sí mismo no es explotable (seguro que lo es, como en la estrategia anterior si existe el arbitraje o, aún más simple, en el caso de una estrategia "comprar-bajar, vender- subir" que puede obtener un rendimiento positivo de un iid). La "estructura matemática" que se puede explotar se conoce como volatilidad del proceso. Es el no arbitraje lo que impide explotar un proceso iid para obtener una rentabilidad superior a la que corresponde a su volatilidad, y no una propiedad del propio proceso.