Cálculo de valor presente

Question

Vincent está decidiendo si comprar una pintura. El precio de venta actual de la pintura es de 100 dólares. El precio de reventa de la pintura después de $T$ años es de $100+T$ dólares, donde $T$ es un entero positivo. La propiedad de la pintura genera un beneficio psicológico de 10 dólares por año, donde el beneficio se recibe al final de cada año. Supongamos que la tasa de descuento es de $r=0.10$.

Supongamos que Vincent compra la pintura. ¿En qué año debería vender la pintura como temprano? [Pista: maximice el valor presente neto con respecto al año en que vende la pintura.]

$$ \begin{aligned} & N P V(T)=-100+\frac{10}{1+10 \%}+\frac{10}{(1+10 \%)^2}+\frac{10}{(1+10 \%)^3}+ \cdots + \frac{10}{(1+10)^T} \\ &+\frac{100+T}{(1+10 \%)^T} \end{aligned} $$

Deje que el primer derivado de $N P V(T)$ sea igual a cero. Usando un software de hoja de cálculo, $T \approx 5.79$

La anterior es la solución, pero tengo dudas.

Obtengo una respuesta diferente $T \approx 10.4921$ al usar la fórmula de suma finita de series geométricas y utilizar Wolfram|Alpha.

Answer 1

Es difícil especular sobre el funcionamiento interno de tus programas ya que no compartes sus detalles; pero al pensar en el beneficio marginal de cada tipo de activo (pintura, dinero) puedes determinar que el momento correcto para vender es $T = 10$ o $11$ (en el modelo de tiempo discreto).

Si mantienes la pintura, recibes un beneficio de \$10 + \$1, apreciación y beneficio psicológico. Si la vendes, obtienes un beneficio marginal del 10% en forma de interés. La pregunta es, ¿cuándo superará el 10% al constante \$11? Una vez que lo haga, lo superará en cada año siguiente porque la pintura se aprecia linealmente. La pregunta podría ser más complicada si la tasa de interés cambiara, pero en esta situación simple este análisis básico funciona.

---

Números editados después de que este comentario señalara un error que cometí.