Dadas algunas preferencias irracionales, que pueden ser representadas por una función. Si la función no satisface la racionalidad (transitividad, completitud), ¿implica esto que no es una función de utilidad?
Sé que la racionalidad sobre $\preccurlyeq$ no implica una función de utilidad. Pero la racionalidad y la continuidad sobre $\preccurlyeq$ implican una función de utilidad. ¿Pero qué hay de la dirección inversa?
Por ejemplo, $u(x) = \sin(x) + 1$, no es racional, pero es continuo, ¿es una función de utilidad?
En mis libros veo mucho sobre los requisitos necesarios para hacer una función de utilidad, pero dado una función, ¿cuáles son los requisitos para que sea una función de utilidad válida?
Mi respuesta Una función de utilidad es la representación de una relación de preferencia $\preccurlyeq$. Todas las relaciones de preferencia son, por suposición (o definición), racionales. Dada una función, si no existe ninguna relación de preferencia racional, entonces no debe ser una función de utilidad.
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@HerrK. No exactamente, están considerando la existencia de funciones de utilidad basadas en relaciones de preferencia no continuas. Estoy preguntando ligeramente sobre la existencia de funciones de utilidad basadas en preferencias no racionales. Más directamente estoy preguntando, dado una función con una relación de preferencias no racionales, ¿todavía puede ser una función de utilidad?
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Como mi respuesta vinculada y la respuesta de @WalrasianAcutioneer sugieren, cualquier función de valores reales puede representar alguna preferencia racional. Creo que podrías estar confundiendo la racionalidad de las preferencias con la racionalidad de las funciones. Una función racional es aquella que puede ser expresada como una proporción de dos funciones polinomiales, por lo que la palabra "racional" aquí se usa como un adjetivo de "proporción". En contraste, una preferencia racional es aquella que incorpora algún sentido intuitivo de razonabilidad. Aunque se usa la misma palabra, tiene diferentes significados en los dos casos.