Últimamente he estado pensando en la noción de retorno obligatorio. No estoy familiarizado con una definición formal, pero he intentado razonar mi camino hacia una. Por favor, dígame si mi enfoque tiene sentido y si se alinea con alguna teoría financiera dominante.
- Si es así, no creo que yo sea el primero en ofrecer una derivación rigurosa; la gente debe haberlo hecho antes. ¿Podría conseguir una referencia ?
- Por lo demás, busco referencias a explicaciones convencionales (aproximadamente con el mismo nivel de detalle que el análisis que figura a continuación).
Una característica interesante del rendimiento exigido es que es un escalar constante aunque para la mayoría de los activos el rendimiento real es un variable aleatoria por lo que se caracteriza más naturalmente como una distribución que como un escalar. ¿Cómo salvar esta distancia?
Consideremos un activo de riesgo $i$ entre el tiempo $t$ y $t+1$ . Su regreso $r_{i,t+1}$ se desconoce de antemano (a partir del momento $t$ ). (Suprimiré los subíndices temporales ya que sólo consideraré el periodo entre $t$ y $t+1$ Así pues $r_{i}$ .) Un inversor puede modelizar esta rentabilidad futura como una variable aleatoria, por ejemplo $R_{i}\sim N(\mu_i,\sigma_i^2)$ *.
Supongamos que el inversor ya posee el cartera de mercados . Entonces también deberíamos tomar el rendimiento del mercado $r_{m}$ en cuenta. Podríamos modelar $\pmatrix{R_{i}\\ R_{m}}$ juntos, por ejemplo como $\pmatrix{R_{i} \\ R_{m}}\sim N\left(\pmatrix{\mu_{i} \\ \mu_{m}},\pmatrix{\sigma_{i}^2 & \sigma_{i,m} \\ \sigma_{i,m} & \sigma_{m}^2}\right)$ . Una vez especificada la distribución conjunta (que no tiene por qué ser Normal multivariante; es sólo un ejemplo) podemos hallar la distribución de rentabilidad de una cartera formada por la cartera de mercado $m$ y el activo de riesgo $i$ con unos pesos determinados. A partir de la distribución de rendimientos es sencillo llegar a la distribución de precios en el tiempo $t+1$ dado que los precios en $t$ son conocidos.
Dada una función de utilidad que toma la riqueza como argumento**, el inversor puede determinar cuál de las dos distribuciones de riqueza siguientes tiene mayor utilidad esperada la que se deriva únicamente de la cartera de mercado frente a la que se deriva de la cartera de mercado más el activo de riesgo $i$ menos el precio del activo de riesgo a $t$ .
Si pudiéramos variar $\mu_i$ podríamos encontrar un valor que iguale las utilidades esperadas de las dos alternativas. Denotemos este valor $\bar r_{i}$ y llamarlo devolución requerida . Podríamos afirmar entonces que el inversor sólo estaría dispuesto a invertir (una cantidad determinada correspondiente al análisis anterior) en el activo de riesgo $i$ si $\bar r_{i,t+1}\leq\mu_i$ es decir, si el valor esperado de la rentabilidad real es igual o superior a la rentabilidad exigida.
*Si utilizáramos un modelo estadístico para llegar a esta distribución, el resultado contendría estimaciones en lugar de valores reales, por ejemplo. $\hat\mu_i$ en lugar de $\mu_i$ . Esto se aplica también al resto de la exposición.
**El consumo es quizá el argumento más natural de una función de utilidad, pero la riqueza se traduce en consumo con bastante facilidad. Es más difícil mostrar cómo y bajo qué supuestos adicionales se podría definir la utilidad directamente sobre los rendimientos; una cuestión relacionada es aquí .
