¿Cómo derivar la volatilidad local de Dupire?

Question

Quiero calcular la expresión de la volatilidad local expresada en términos de volatilidad implícita dada por Fabrice Douglas Rouah en Derivación de la volatilidad local :

$v_{l} = \frac{ \frac{\partial w}{\partial T} }{\left[1 - \frac{y}{w} \frac{\partial w}{\partial y}+ \frac{1}{2}\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}+ \frac{1}{4}\left( - \frac{1}{4} + \frac{1}{w} + \frac{y^2}{w^2} \right) \left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)^2 \right]}$

No sé cómo calcular la EDP, ¿debería utilizar diferencias finitas? Cuando lo intento con un $h$ Encuentro valores muy altos para $\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}$ . Gracias por su ayuda.

Answer 1

En primer lugar, un comentario aquí la expresión (correcta) que has enunciado aquí no es la enunciada y derivada en Rouah.

En cuanto al cálculo de los derivados, el mejor caso sería que su mercado subyacente fuera tal que pudiera calibrar primero una parametrización de la varianza implícita, $w(y,t)$ como uno de SSVI de Gatheral tal vez con parámetros dependientes del tiempo, como se discute en el trabajo sobre ampliado Superficies SSVI . En este caso, se garantiza que su superficie esté libre de arbitraje tanto en la huelga de troncos ( $y$ ) y las dimensiones temporales y las derivadas que necesita para la función de volatilidad local pueden obtenerse analíticamente. En la práctica, a menudo se pueden ajustar tales parametrizaciones por vencimiento y comprobar que los parámetros se comportan lo suficientemente bien a lo largo del tiempo como para permitir interpolarlos linealmente y obtener la derivada temporal por diferencias finitas. En caso contrario, por ejemplo si se utiliza algún tipo de interpolación spline, será necesario recurrir a cálculos de diferencias finitas tanto para la derivada temporal como para la derivada logarítmica.