En el documento de Dupire, ¿por qué $(S_t, t)$ en el $(K, T)$ ¿espacio?

Question

Soy nuevo en el modelo de volatilidad local.

A partir del trabajo de Dupire y de la mayoría de los libros de texto, derivaron la volatilidad local $\sigma(K, T)$ en el $(K, T)$ (es decir, el strike y el vencimiento), a partir de los precios de las opciones de compra o de la superficie de volatilidad implícita.

Sin embargo, por definición, la volatilidad local es una función en términos de $(S_t, t)$ es decir, el precio subyacente instantáneo y el tiempo.

¿Cómo relacionar estas dos cosas?

Answer 1

Se trata de una mera cuestión de notación, simplemente hay que leer $$ \sigma(K,T) = \sigma(S_t=K, t=T) $$

Para una derivación fácil de seguir vea esto excelente nota de Fabrice Rouah

Algunas intuiciones detrás de los desarrollos:

• El precio de una opción europea, por ejemplo una call, puede escribirse en forma integral: $$ C(t, S_t, K, T) = e^{-r(T-t)} \int_0^\infty (S_T-K)^+ \phi(S_T,T; S_t, t) dS_T \tag{1} $$ donde $\phi(S_T=S,T;S_t,t) := f(S,T)$ calcula el pdf de pasar del estado actual conocido $(S_t,t)$ a algún estado futuro $(S_T=S,T)$ . Este es un modelo libre resultado.

• Ahora, considere un volatilidad local dinámica $$\frac{dS_t}{S_t} = \mu(S_t,t) dt + \sigma(S_t,t) dW_t$$ es bien sabido que el pdf condicional $\phi(S_T=S,T;S_t,t) = f(S,T)$ en ese caso resuelve la siguiente ecuación (Kolmogorov forward o ecuación de Fokker-Planck): $$ \frac{\partial}{\partial T}f(S,T) = -\frac{\partial}{\partial S} \left[ \mu(S,T) f(S,T) \right] + \frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial S^2} \left[ \sigma^2(S,T) f(T,S) \right] \tag{2} $$ con la condición inicial $$f(S,t) = \phi(S_T=S,T=t; S_t, t) = \delta(S-S_t)$$ donde utilizamos la notación $$ \sigma^2(S,T) = \sigma^2(S_t=S,t=T) $$

• Escribir la derivada temporal de $(1)$ con respecto a $T$ se puede hacer $\frac{\partial}{\partial T}f(S,T)$ aparecer. Esto es útil, ya que ahora podemos sustituir su expresión dada por $(2)$ lo que significa que hemos relacionado alguna derivada (temporal) del precio de compra con nuestra función de volatilidad local $\sigma(.,.)$

• La expresión que obtenemos puede simplificarse aún más identificando las derivadas espaciales del precio de compra dadas por $(1)$ . Esto implica el cálculo de integrales espaciales, donde la función de volatilidad local acaba siendo evaluada en $S=K$ y finalmente se obtiene la famosa fórmula de extracción de Dupire $$ \sigma^2(K,T) = ... $$

Answer 2

La volatilidad local es sólo una $\mathbb{R}_+\times[0,T]\mapsto \mathbb{R}_+$ función en la que $T$ es un horizonte temporal. Es la solución de una ecuación simple por lo que su expresión se escribe como $\sigma(K,t)$ pero aquí $K$ es esencialmente una notación para denotar un valor de ataque ya que la ecuación de Dupire relaciona la función $\sigma$ a los precios del mercado de vainilla en una huelga determinada. Una vez calculada (calibrada) la función de volatilidad local se utiliza durante la difusión del activo subyacente, por lo que la evaluamos en el par $(S_t,t)$

Answer 3

Probablemente valga la pena señalar que el artículo citado de Rouah tiene una grave errata/error. Concretamente, el resultado citado en la ecuación 3 es erróneo: \begin{equation*} v_L=\frac{\frac{\partial w}{\partial T}}{\left[1-\frac{y}{w}\frac{\partial w}{\partial y}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}+\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{4}-\frac{1}{w}+\frac{y^2}{w}\right)\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)^2\right]} \end{equation*} en lugar de \begin{equation*} v_L=\frac{\frac{\partial w}{\partial T}}{\left[1-\frac{y}{w}\frac{\partial w}{\partial y}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}+\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{4}-\frac{1}{w}+\frac{y^2}{w^2}\right)\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)^2\right]}. \end{equation*} Lamentablemente, el equivocado es también la ecuación que se "deriva" en el cuerpo del artículo.