No entiendo cómo definir ese factor de integración para resolver SDE, por ejemplo, como se mostró en Resolviendo $dX_{t} = \mu X_{t} dt + \sigma dW_{t}$ y Resolviendo la Ecuación Diferencial Estocástica usando factor de integración. Y en este libro Ecuaciones Diferenciales Estocásticas en algunos ejercicios se recomienda utilizar factor integrador, pero ¿cómo obtenerlo?
¿Existe algún mecanismo (algoritmo) que nos permita encontrar este factor integrador?
Creo que Wikipedia da una definición justa; míralo como una "función auxiliar".
En tu ejemplo, $e^{-\mu t}$ te ayuda a deshacerte de la deriva en tu EDE, y terminas resolviéndola mediante integración estocástica; luego simplemente "multiplica de nuevo" por $e^{\mu t}$ y tu EDE inicial está resuelta.
Ok, gracias. Lo siento, me equivoqué al preguntar, sé cómo funciona en ODF, estoy interesado en cómo entender qué función debemos elegir como factor integrador para SDE, es decir, ¿existe algún mecanismo que lo determine? Por ejemplo, para ODE: $$M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$$ y $\frac{dM}{dy} \neq \frac{dN}{dx}$, entonces $\mu$ es un factor de integración si depende solo de $x$ o solo de $y$ en la forma de (para el caso en que $\mu$ depende de x): $$ \mu(x) = e^{ \frac{\frac{\partial M(x, y)}{\partial y} - \frac{\partial N(x, y)}{\partial x}}{M(x, y)} } $$.
Esencialmente quieres deshacerte de la deriva del proceso $\mu X_t d t$ para obtenerlo en una forma que se pueda resolver
$$E[d X_t] = E[\mu X_t d t]\\ \implies d E[X_t] = \mu E[X_t] d t\\ \equiv d y(t) = \mu \cdot y(t) d t\\ \implies \frac{d y(t)}{d t} - \mu \cdot y(t)=0$$
Por lo tanto, resolviendo esta EDO a través del método del factor integrante, se tiene
$$I(t) = e^{\int_0^t -\mu d t} = e^{-\mu t}$$
Así que obteniendo la EDE
$$d (e^{-\mu t} X_t) = X_t \cdot d(e^{-\mu t}) + e^{- \mu t} \cdot d X_t + (d e^{- \mu t})(d X_t)\\ = X_t \cdot (- \mu e^{- \mu t}dt) + e^{- \mu t}(\mu X_t d t + \sigma d W_t) + 0\\ = - \mu e^{- \mu t}X_t d t + \mu e^{-\mu t}X_t d t + \sigma e^{- \mu t }d W_t\\ = \sigma e^{-\mu t} d W_t$$
Por tanto, hemos eliminado la deriva y obtenemos $$e^{-\mu t} X_t = X_0 + \sigma \int_0^t e^{-\mu t} d W_t$$
A partir de ahí debería ser obvio. Este método debería funcionar con cualquier EDE con término de deriva $\mu(t)X_t d t$
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Lo que puedes hacer es primero encontrar una solución para el componente exponencial, por ejemplo, $dX_t=\mu X_t dt$ en tu pregunta, y luego variar la constante a un proceso estocástico, y encontrar este proceso estocástico. Este enfoque se llama el método de "variación de constantes".
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Este EDE es un caso especial de este y como tal, uno de los pocos EDEs resolubles explícitamente. A diferencia de las EDOs, no hay una gran cantidad de métodos de solución para las EDEs. En mi opinión, la mejor manera de abordar esto es memorizar los casos que tienen soluciones.
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La parte inferior de mi respuesta podría ser útil.