No entiendo cómo definir dicho factor de integración para resolver SDE, por ejemplo, como se mostró en Resolver $dX_{t} = \mu X_{t} dt + \sigma dW_{t}$ y Resolución de ecuaciones diferenciales estocásticas mediante factor integrador . Y en este libro Ecuaciones diferenciales estocásticas en algunos ejercicios las pistas recomiendan usar el factor integrador, pero como obtenerlo.
¿Existe algún mecanismo(algoritmo) que nos permita encontrar este factor integrador?
Creo que Wikipedia da una definición justa; véala como una "función auxiliar".
En tu ejemplo, $e^{-\mu t}$ te ayuda a deshacerte de la deriva en tu SDE, y terminas resolviéndola por mera integración estocástica ; entonces simplemente "vuelve a multiplicar" por $e^{\mu t}$ y tu SDE inicial está resuelta.
Esencialmente quieres librarte de la deriva del proceso $\mu X_t d t$ para obtenerlo en una forma solucionable
$$E[d X_t] = E[\mu X_t d t]\\ \implies d E[X_t] = \mu E[X_t] d t\\ \equiv d y(t) = \mu \cdot y(t) d t\\ \implies \frac{d y(t)}{d t} - \mu \cdot y(t)=0$$
Por tanto, resolviendo esta EDO mediante el método del factor integrador se tiene
$$I(t) = e^{\int_0^t -\mu d t} = e^{-\mu t}$$
Así que conseguir el SDE
$$d (e^{-\mu t} X_t) = X_t \cdot d(e^{-\mu t}) + e^{- \mu t} \cdot d X_t + (d e^{- \mu t})(d X_t)\\ = X_t \cdot (- \mu e^{- \mu t}dt) + e^{- \mu t}(\mu X_t d t + \sigma d W_t) + 0\\ = - \mu e^{- \mu t}X_t d t + \mu e^{-\mu t}X_t d t + \sigma e^{- \mu t }d W_t\\ = \sigma e^{-\mu t} d W_t$$
Por lo tanto, hemos eliminado la deriva y obtenemos $$e^{-\mu t} X_t = X_0 + \sigma \int_0^t e^{-\mu t} d W_t$$
A partir de ahí debería ser obvio. Este método debería funcionar con cualquier SDE con término de deriva $\mu(t)X_t d t$
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