La solución de $dX_{t} = \mu X_{t} dt + \sigma dW_{t}$

Question

Quiero resolver el siguiente SDE:

$$ dX_{t} = \mu X_{t} dt + \sigma dW_{t} \quad X_{0} = x_{0}$$

Integrar, me sale:

$$ X_{t} - x_{0}= \mu \int_{0}^{t} X_{s} ds + \sigma \int_{0}^{T} dW_{t} $$ $$ X_{t} = x_{0} + \mu \int_{0}^{t} X_{s} ds + \sigma [W_{t} - W_{0}] $$ $$ X_{t} = x_{0} + \mu \int_{0}^{t} X_{s} ds + \sigma W_{t} $$

Aquí es donde me quedo atascado -- ¿Cómo debo proceder?

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Sé que la solución para:

$$ dX_{t} = \mu X_{t} dt + \sigma X{t} dW_{t} \quad X_{0} = x_{0}$$

Está dada por:

$$ X_{t} = X_{0}e^{(\mu - \frac{1}{2}\sigma^{2})t} + \sigma W_{t}$$

Este está dado por la matriz fundamental de soluciones. (Aunque sinceramente no estoy seguro de cómo esto se deriva, por lo que no puede especializarse en mi caso).

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Lo siento por esa pregunta básica. Estoy tratando de aprender esto de los recursos en la web. Así que si alguien puede recomendar un buen libro que aborda cómo resolver la SDEs, lo agradecería muchísimo.

Answer 1

Parece que usted necesita para leer algunos libros, tales como Ecuaciones Diferenciales Estocásticas. Para este tipo de ecuaciones, es necesario utilizar algo llamado factor de integración, tales como la función $e^{-\mu t}$ aquí. Tenga en cuenta que \begin{align*} d\big(e^{-\mu t} X_t \big) &= X_t d\big(e^{-\mu t}\big) + e^{-\mu t} dX_t\\ &=-\mu e^{-\mu t} X_t dt + e^{-\mu t} (\mu X_t dt + \sigma dW_t)\\ &=\sigma e^{-\mu t} dW_t. \end{align*} Entonces, por $t > s \ge 0$, \begin{align*} e^{-\mu t} X_t = e^{-\mu s} X_s+ \int_s^t \sigma e^{-\mu v} dW_v. \end{align*} En consecuencia, \begin{align*} X_t &= X_s e^{\mu (t-s)} + \sigma\int_s^t e^{\mu (t-v)} dW_v\\ &\sim N\Big(X_s e^{\mu (t-s)}, \, \sigma^2\int_s^t e^{2\mu (t-v)} dv \Big). \end{align*}