Estimación GMM del CAPM: ¿por qué no incluir la media muestral del exceso de rentabilidad del mercado como momento?

Question

Estoy intentando comprender la estimación GMM de un modelo de factor único como el CAPM. Empecé preguntando ¿Cómo es que la ecuación CAPM transversal produce $N$ condiciones de momento (no $1$ )? y ahora lo estoy siguiendo. Ecuación $(12.23)$ en Cochrane "Valoración de activos" (2005) sección 12.2 (p. 241) dice que los momentos son $$g_T(b) = \begin{bmatrix} E(R^e_t-a-\beta f_t) \\ E[(R^e_t-a-\beta f_t)f_t] \\ E(R^e-\beta \lambda) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \tag{12.23}.$$ donde $R^e_t=(R^e_{1,t},\dots,R^e_{N,t})'$ es un vector de rendimientos excesivos de activos individuales, $\beta=(\beta_1,\dots,\beta_N)'$ es un vector de betas, $f_t$ es el rendimiento de los factores y $\lambda=E(f)$ es el valor esperado del rendimiento del factor. Las dos primeras filas corresponden a regresiones de series temporales para $N$ activos (una regresión por activo), por lo que en realidad hay $2N$ condiciones. Si he entendido bien, la tercera fila corresponde a una regresión transversal de los rendimientos promediados en el tiempo: $$E_T(R^{ei})=\beta_i' \lambda+\alpha_i, \quad i=1,2,\dots,N. \tag{12.10}$$ ( $(12.10)$ se especifica para muchos factores potenciales, pero $(12.23)$ considera el caso simple de un único factor, por lo que el vector $\beta'$ se convierte en escalar $\beta$ y lo mismo vale para $\lambda$ .)

Dado que estamos tratando de estimar (entre otras cosas) el exceso de rendimiento esperado del mercado $\lambda$ Un enfoque obvio sería utilizar la media muestral del exceso de rentabilidad del mercado a lo largo del periodo de referencia. $T$ periodos de tiempo. En un MMG, la condición de momento correspondiente sería $\frac{1}{T}\sum_{t=1}^T (f_t-\lambda)=0$ . En la notación de Cochrane, sería $\color{blue}{E_T(f_t-\lambda)=0}$ . Sin embargo, esto no es lo que vemos en el estimador GMM para el modelo de un solo factor en la ecuación $(12.23)$ .

Lo que me parecería intuitivo es tener $$g_T(b) = \begin{bmatrix} E(R^e_t-a-\beta f_t) \\ E[(R^e_t-a-\beta f_t)f_t] \\ \color{blue}{E(f_t-\lambda)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \color{blue}{0} \end{bmatrix} \tag{12.23'}$$ o quizás $$g_T(b) = \begin{bmatrix} E(R^e_t-a-\beta f_t) \\ [E(R^e_t-a-\beta f_t)f_t] \\ \color{red}{E(R^e-\beta \lambda)} \\ \color{blue}{E(f_t-\lambda)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \color{red}{0} \\ \color{blue}{0} \end{bmatrix}. \tag{12.23''}$$ De nuevo, puesto que estamos interesados en estimar $\lambda$ (entre otras cosas), ¿existe alguna razón para excluir la condición de momento obvio en azul de $(12.23)$ ? No tengo una intuición bien desarrollada en torno a GMM, pero creo que la condición azul es bastante informativa sobre $\lambda$ probablemente más que el rojo.

Answer 1

Una suposición: En el contexto del libro, probablemente no estamos tratando de estimar el exceso de rentabilidad del mercado propiamente dicho . Cuando las cantidades teóricas se sustituyen por sus contrapartidas empíricas en el estimador GMM especificado en $(12.23)$ , $\lambda$ probablemente se sustituya por la media empírica de $f$ . Por lo tanto, no necesitamos la fila adicional en azul; sería superflua.

Entonces podemos utilizar las dos primeras filas ( $2N$ condiciones) para estimar $\beta$ . La tercera fila (otra $N$ Si el CAPM se cumple, las desviaciones empíricas de la igualdad en la tercera fila deberían ser pequeñas. Si son grandes, es poco probable que se cumpla el CAPM.