Estoy intentando comprender la estimación GMM de un modelo de factor único como el CAPM. Empecé preguntando ¿Cómo es que la ecuación CAPM transversal produce $N$ condiciones de momento (no $1$ )? y ahora lo estoy siguiendo. Ecuación $(12.23)$ en Cochrane "Valoración de activos" (2005) sección 12.2 (p. 241) dice que los momentos son $$ g_T(b) = \begin{bmatrix} E(R^e_t-a-\beta f_t) \\ E[(R^e_t-a-\beta f_t)f_t] \\ E(R^e-\beta \lambda) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \tag{12.23}. $$ donde $R^e_t=(R^e_{1,t},\dots,R^e_{N,t})'$ es un vector de rendimientos excesivos de activos individuales, $\beta=(\beta_1,\dots,\beta_N)'$ es un vector de betas, $f_t$ es el rendimiento de los factores y $\lambda=E(f)$ es el valor esperado del rendimiento del factor. Las dos primeras filas corresponden a regresiones de series temporales para $N$ activos (una regresión por activo), por lo que en realidad hay $2N$ condiciones. Si he entendido bien, la tercera fila corresponde a una regresión transversal de los rendimientos promediados en el tiempo: $$ E_T(R^{ei})=\beta_i' \lambda+\alpha_i, \quad i=1,2,\dots,N. \tag{12.10} $$ ( $(12.10)$ se especifica para muchos factores potenciales, pero $(12.23)$ considera el caso simple de un único factor, por lo que el vector $\beta'$ se convierte en escalar $\beta$ y lo mismo vale para $\lambda$ .)
Dado que estamos tratando de estimar (entre otras cosas) el exceso de rendimiento esperado del mercado $\lambda$ Un enfoque obvio sería utilizar la media muestral del exceso de rentabilidad del mercado a lo largo del periodo de referencia. $T$ periodos de tiempo. En un MMG, la condición de momento correspondiente sería $\frac{1}{T}\sum_{t=1}^T (f_t-\lambda)=0$ . En la notación de Cochrane, sería $\color{blue}{E_T(f_t-\lambda)=0}$ . Sin embargo, esto no es lo que vemos en el estimador GMM para el modelo de un solo factor en la ecuación $(12.23)$ .
Lo que me parecería intuitivo es tener $$ g_T(b) = \begin{bmatrix} E(R^e_t-a-\beta f_t) \\ E[(R^e_t-a-\beta f_t)f_t] \\ \color{blue}{E(f_t-\lambda)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \color{blue}{0} \end{bmatrix} \tag{12.23'} $$ o quizás $$ g_T(b) = \begin{bmatrix} E(R^e_t-a-\beta f_t) \\ [E(R^e_t-a-\beta f_t)f_t] \\ \color{red}{E(R^e-\beta \lambda)} \\ \color{blue}{E(f_t-\lambda)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \color{red}{0} \\ \color{blue}{0} \end{bmatrix}. \tag{12.23''} $$ De nuevo, puesto que estamos interesados en estimar $\lambda$ (entre otras cosas), ¿existe alguna razón para excluir la condición de momento obvio en azul de $(12.23)$ ? No tengo una intuición bien desarrollada en torno a GMM, pero creo que la condición azul es bastante informativa sobre $\lambda$ probablemente más que el rojo.
