Lectura Cochrane "Valoración de activos" (2005) sección 12.2 (p. 241), me perdí en la derivación del estimador GMM para el modelo de un solo factor. Ecuación $(12.23)$ dice que los momentos son $$ g_T(b) = \begin{bmatrix} E(R^e_t-a-\beta f_t) \\ E[(R^e_t-a-\beta f_t)f_t] \\ E(R^e-\beta \lambda) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \tag{12.23} $$ donde $R^e_t=(R^e_{1,t},\dots,R^e_{N,t})'$ es un vector de rendimientos excesivos de activos individuales, $\beta=(\beta_1,\dots,\beta_N)'$ es un vector de betas, $f_t$ es el rendimiento de los factores y $\lambda=E(f)$ es el valor esperado del rendimiento del factor. Las dos primeras filas corresponden a regresiones de series temporales para $N$ activos (una regresión por activo), por lo que en realidad hay $2N$ condiciones. Si he entendido bien, la tercera fila corresponde a una regresión transversal de los rendimientos promediados en el tiempo. Se trata de una solo ecuación (variable dependiente escalar) $$ E_T(R^{ei})=\beta_i' \lambda+\alpha_i, \quad i=1,2,\dots,N. \tag{12.10} $$ ( $(12.10)$ se especifica para muchos factores potenciales, pero $(12.23)$ considera el caso simple de un único factor, por lo que el vector $\beta'$ se convierte en escalar $\beta$ y lo mismo vale para $\lambda$ .)
Eso debería añadir un condición de momento. Sin embargo, el libro de texto dice que añade $N$ condiciones del momento. ¿Cómo ocurre eso?
Una pregunta relacionada es <a href="https://quant.stackexchange.com/questions/74521">"Estimación GMM del CAPM: ¿por qué no incluir la media muestral del exceso de rentabilidad del mercado como momento?". </a>.
