En primer lugar, me gustaría pedir disculpas si no he podido ser más específico en el título, realmente he intentado sintetizar el núcleo de mi duda.
Estaba leyendo Análisis econométrico de modelos macroeconómicos calibrados de K. Kim y A.R. Pagan (presente en el libro Manual de Econometría Aplicada, Volumen 1: Macroeconomía ) y, para construir algunas variables de estado estacionario, nos introducen en una función de utilidad esperada (1) y en una función de producción (2), que es nuestra restricción para el problema de maximización de (1):
$E_t\left\{\sum_{j = 0}^\infty \beta^j U(C_t, (1 - L_t)) \right\} = E_t \left\{ \sum \beta^j [(1 - \sigma)^{-1} C_t^{\theta(1 - \sigma)} ( 1 - L_t)^{(1 - \theta)(1 - \sigma)}] \right\}$ $(1)$
$Y_t = A_t K_t^\alpha L_t^{1 - \alpha} = A_t F(K_t, L_t) $ $(2)$
Se introduce también una ley de movimiento del capital (3):
$K_{t+1} = (1 - \delta) K_t + I_t $ $(3)$
Entonces, podemos formular el lagrangiano:
$ \mathcal{L} = E_t \sum \beta^j \left\{ [(1 - \sigma)^{-1} C_t^{\theta(1 - \sigma)} ( 1 - L_t)^{(1 - \theta)(1 - \sigma)}] + \lambda_t [ A_tF(K_t, L_t) - C_t - K_{t+1} + (1 - \delta)K_t - G_t] \right\}$ $(4)$
El lagrangiano anterior se utiliza para elegir las condiciones de primer orden (FOC) para $C_t$ , $L_t$ , $K_{t+1}$ y $\lambda_t$ .
Pasaré a $K_{t+1}$ 's FOC porque es exactamente donde radica mi duda. Su FOC es presentado por:
$E_t \left\{ \beta \lambda_{t + 1}[ {A_{t+1} F_K + (1 - \delta)]} - \lambda_t \right\} = 0 $ $ (5) $
He intentado utilizar el razonamiento de desplazar cada variable dependiente del tiempo un periodo de tiempo hacia delante y luego calcular el FOC, pero mi cálculo sigue sin coincidir con este resultado en $ (5) $ .
Si se trata de algún paso aritmético o de cálculo trivial que me estoy perdiendo, ya me gustaría que alguien me indicara dónde puedo encontrar algo similar con detalle para poder averiguarlo por mi cuenta.
Gracias por su atención.
