Comprensión de los subíndices en las condiciones de primer orden de los problemas de optimización dinámica

Question

Supongamos que tenemos un problema de maximización simple como el descrito en la ecuación 1.1 aquí o aquí . Esto nos lleva a la ecuación lagrangiana 1.3: $$\begin{align*}\mathcal{L} &= \sum_{t=1}^\infty \beta^{t-1}\left\{u(c_t) + \lambda_t \left[ f(k_t) + (1 - \delta)k_t - c_t - k_{t+1}\right]\right\} \\ &= \sum_{t=1}^\infty \left[\beta^{t-1} u(c_t) - \beta^{t-1}\lambda_t c_t + \beta^{t-1} \lambda_t f(\mathbf{k_t}) + \beta^{t-1}\lambda_t(1-\delta)\mathbf{k_t} - \beta^{t-1}\lambda_t \mathbf{k_{t+1}}\right] \end{align*} $$

Cuando derivamos la condición de primer orden con respecto a $k_{t+1}$ que es: $$\frac{\partial \mathcal{L} (\cdot)}{\partial k_{t+1}} = 0 : \beta \lambda_{t+1} \frac{\partial f(k_{t+1})}{\partial k_{t+1}} + \beta \lambda_{t+1} (1 - \delta) -\lambda_t=0$$

por qué usamos el subíndice $\phantom{.}_{t+1}$ en $\lambda_{t+1}$ y por qué $\beta^{t-1}$ se convierte en $\beta$ ? No puedo entender cómo se combinan los dos primeros términos con el último ( $-\lambda_t$ ).

Los términos pertinentes (con $k$ ) del lagrangiano en el período $\phantom{.}_{t+1}$ son: $$ \beta^{(t+1)-1} \lambda_{t+1} f(k_{t+1}) + \beta^{(t+1)-1} \lambda_{t+1} k_{t+1} (1 - \delta) - \beta^{(t+1)-1} \lambda_{t+1} k_{(t+1)+1}$$ por lo que para esta parte de la suma no nos "importa" el último término cuando tomamos la derivada con respecto a $k_{t+1}$ . Así que para este periodo esta parte de la suma es $$\frac{\partial \mathcal{L}_{t+1}}{\partial k_{t+1}} = \beta^{t} \lambda_{t+1} \frac{\partial f(k_{t+1})}{\partial k_{t+1}} + \beta^{t} \lambda_{t+1} (1 - \delta)$$

Los términos pertinentes (con $k$ ) del lagrangiano en el período $\phantom{.}_{t}$ son: $$\beta^{t-1} \lambda_t f({k_t}) + \beta^{t-1}\lambda_t(1-\delta){k_t} - \beta^{t-1}\lambda_t k_{t+1}$$ por lo que para este periodo la parte de la suma es $$\frac{\partial \mathcal{L}_t}{\partial k_{t+1}} = - \beta^{t-1}\lambda_t$$ Ahora la condición de primer orden con respecto a $k_{t+1}$ debería ser: $$\frac{\partial \mathcal{L}_{t+1}}{\partial k_{t+1}} + \frac{\partial \mathcal{L}_t}{\partial k_{t+1}} = \beta^{t} \lambda_{t+1} \frac{\partial f(k_{t+1})}{\partial k_{t+1}} + \beta^{t} \lambda_{t+1} (1 - \delta) - \beta^{t-1}\lambda_t = 0$$ ¿verdad?

Answer 1

En un problema de maximización intertemporal, buscamos encontrar el óptimo secuencia de las variables de control y de estado. La naturaleza recursiva del problema nos permite considerar un punto "típico" en el tiempo y una sola condición por variable.

Para cada uno de estos problemas, tenemos que averiguar (cuidadosamente) en cuántos períodos distintos aparece una realización específica de una variable . Para hacerlo correctamente debemos distinguir entre el índice "absoluto", y un índice "corrido". En la formulación del Lagrangean que aparece en la pregunta, esto no se hace (y es práctica habitual no hacerlo, pero puede llegar a confundir).

Así que usaría el $t$ como el índice absoluto (para llegar a las condiciones de primer orden de la misma apariencia), y algún otro símbolo para el índice corriente, digamos

$$\mathcal{L_t} = \sum_{j=0}^\infty \beta^{j}\left\{u(c_{t+j}) + \lambda_{t+j} \left[ f(k_{t+j}) + (1 - \delta)k_{t+j} - c_{t+j} - k_{t+j+1}\right]\right\} $$

Tenga en cuenta que $t$ ya no afecta al factor de descuento $\beta$ y es que el factor de descuento tiene que ver con la mirada al futuro, que está representado por el índice $j$ . Además, tenga en cuenta que $j$ comienza en cero, lo que indica que el primer período es el $t$ período.

Escrito de esta manera, el Lagrangeano dice "estamos en algún punto del tiempo indicado por $t$ (que puede tomar el valor cero o cualquier valor positivo), y estamos mirando hacia adelante período por período contado por el índice $j$ ".

Para cualquier $j$ tenemos

$$\mathcal{L}_t =...+ \beta^{j}\Big\{u(c_{t+j}) + \lambda_{t+j} \left[ f(k_{t+j}) + (1 - \delta)k_{t+j} - c_{t+j} - k_{t+j+1}\right]\Big\} + \beta^{j+1}\Big\{u(c_{t+j+1}) + \lambda_{t+j+1} \left[ f(k_{t+j+1}) + (1 - \delta)k_{t+j+1} - c_{t+j+1} - k_{t+j+2}\right]\Big\} + ...$$

Reflexionando sobre esto, nos damos cuenta de que la variable $k_{t+j+1}$ aparecerá sólo en dos períodos consecutivos, por lo que la condición de primer orden para un elemento "típico" de la secuencia $\{k_{t+j}\}_{j=0}^{\infty}$ se puede evaluar diferenciando sólo estos dos períodos con respecto a $k_{t+j+1}$ . Haciendo esto obtenemos

$$\frac {\partial \mathcal{L}_t}{\partial k_{t+j+1}} = -\beta^{j} \lambda_{t+j} + \beta^{j+1}\Big\{ \lambda_{t+j+1} \left[ f'(k_{t+j+1}) + (1 - \delta)\right]\Big\} $$

Tomar los factores comunes (que simplificarán el factor de descuento) y ponerlos a cero

$$\frac {\partial \mathcal{L}_t}{\partial k_{t+j+1}} = \beta^{j} \Big[-\lambda_{t+j} + \beta\Big\{ \lambda_{t+j+1} \left[ f'(k_{t+j+1}) + (1 - \delta)\right]\Big\}\Big] = 0$$

Para aligerar la carga de la indexación, podemos expresar esto para $j=0$ para obtener

$$\frac {\partial \mathcal{L}_t}{\partial k_{t+1}} = 0 \implies -\lambda_{t} + \beta\Big\{ \lambda_{t+1} \left[ f'(k_{t+1}) + (1 - \delta)\right]\Big\} = 0$$

Answer 2

(facepalm) Multiplica ambos lados con $\beta^{1-t}$ : $$ \beta^{1-t+t} \lambda_{t+1} \frac{\partial f(k_{t+1})}{\partial k_{t+1}} + \beta^{1-t+t} \lambda_{t+1} (1 - \delta) - \beta^{1-t+t-1}\lambda_t = 0$$