El Teorema de Frisch-Waugh-Lovell: un ejercicio

Question

Tengo una ecuación de la forma (todos los vectores): $y=X_1\beta_1+X_2\beta_2+u$.

Estoy interesado en saber si los estimadores beta OLS y los residuos respectivos para esta ecuación son los mismos que cuando aplicamos OLS a las siguientes ecuaciones:

1. $P_{X_1}y=P_{X_1}X_2\beta_2+v
2. $P_Xy=X_1\beta_1+X_2\beta_2+v

donde los $P_Z$ son la definición habitual de matrices de proyección, utilizando $Z$.

Entonces, he intentado usar el teorema de FWL, y he obtenido respectivamente:

1. $\hat\beta_2 = (X_2' P_{X_1}X_2)^{-1}X_2'P_{X_1}y$ y $\hat v = (I- P_{X_1}X_2(X_2'P_{X_1}X_2)^{-1}X_2'P_{X_1})P_{X_1}y. Me preguntaba si calculé mal $\hat u$ ya que al mirar la ecuación 1, como $y$ y $X_2\beta_2$ se proyectan en el espacio abarcado por las columnas de $X_1$, los residuos serían cero.
2. $\hat\beta_2 = (X_2' M_{X_1}X_2)^{-1}X_2'M_{X_1}P_X y$ y $\hat v = (I- M_{X_1}X_2(X_2'M_{X_1}X_2)^{-1}X_2'M_{X_1})P_{X}y. Sin embargo, no veo cómo la estimación para $\beta_2$ es igual en ambos casos, ya que si notas que aplicando OLS a la ecuación 2, obtenemos $\hat \beta=(X'X)^{-1}X'P_X y=(X'X)^{-1}X'y$.

Cualquier ayuda sería apreciada.

Edición 1: bueno, descubrí cómo hacer el 2º punto. Debemos notar que $M_{X_1}P_X=(I-P_{X_1})P_X=P_X-P_{X_1}=P_X'-P_{X_1}'=(M_{X_1}P_X)'=P_X'M_{X_1}'=P_X M_{X_1}$ y que $ X_2'P_X=(P_X X_2)=X_2'$. En cuanto al 1er punto, no tengo idea...

Answer 1

Lo que sabemos del teorema de FWL, es que la regresión

$$M_1y = M_1X_2\beta_2 + M_1u \tag{1}$$

dará los mismos estimados para $\beta_2$ que la regresión completa

$$y = X_1\beta_1 +X_2\beta_2 + u \tag{2}$$

donde

$$M_1 = I - P_1 = I - X_1(X_1'X_1)^{-1}X_1'$$

es la llamada matriz aniquiladora o formadora de residuos. El estimador de $(1)$ es

$$\hat \beta_2 = (X_2'M_1X_2)^{-1}X_2'M_1y \tag{3}$$

Así que se reduce a examinar si el estimador de la especificación

$$P_1y = P_1X_2\beta_2 + w \tag{4}$$

que es

$$\tilde \beta_2 = (X_2'P_1X_2)^{-1}X_2'P_1y \tag{5} $$

será el mismo que $\hat \beta_2$.

Bien,

$$(2),(3) \implies \hat \beta_2 - \beta_2 = (X_2'M_1X_2)^{-1}M_1u \tag{6}$$

mientras que

$$ (2), (5) \implies \tilde \beta_2 -\beta_2 = (X_2'P_1X_2)^{-1}X_2'X_1\beta_1+ (X_2'P_1X_2)^{-1}X_2'P_1u \tag{7}$$

Dado que $(6)$ y $(7)$ involucran cantidades exógenas arbitrarias ($u, \beta_1$) no veo cómo podrían ser iguales, excepto por pura casualidad.

Incluso si en nuestra muestra $X_1$ y $X_2$ son ortogonales (lo cual eliminaría el primer término en $(7)$ pero que, con datos observacionales, es una broma mencionar siquiera), entonces ambos serían sesgados bajo estricta exogeneidad, pero esto es hasta donde parecen ir las similitudes aquí.

Answer 2

SI y = (x1)(β1), podemos calcular (β1) directamente.
Creo que FWL está pensando de esa manera, por lo que cambia a usar residuos;
Los residuos ε de x1 en x2 y los residuos ε de y en x2 son ambos linealmente independientes de x2.