Aplazamiento de una acción con Dividendos

Question

He visto la pregunta aquí y he repasado la respuesta, pero sigo sin entender del todo por qué el enfoque de abajo, basado en el no arbitraje, da una respuesta diferente.

Para resumir:

• En el momento $t_0$ , pido prestado $S_0$ efectivo y lo gasto inmediatamente para comprar una unidad de acciones

• Mientras se mantienen las acciones, los dividendos se componen continuamente a una tasa constante $q$ y se reinvierte en las acciones hasta el momento $t$ En ese momento dejaré de reinvertir y me llevaré el dinero en efectivo, cuyo valor sería $D_t$

• Un tiempo $t$ Necesito devolver el dinero prestado $S_0$ que ha acumulado un tipo de interés constante continuamente compuesto $r$ es decir $S_0e^{rt}$ . También recibiré el efectivo de la contraparte para el forward (es decir $F(t_0,t)$ que es el precio a plazo acordado en el momento $t_0$ ), y tendré que entregar a la contraparte la unidad de acciones que he tenido todo el tiempo hasta $t$ .

Estas operaciones se resumen en el siguiente cuadro:

Evidentemente, para que no haya oportunidad de hacer caja de la nada, es decir, para que el delantero $F(t_0,t)$ para no generar ningún arbitraje, debemos tener trivialmente en el tiempo $t$ eso:

$$-S_0e^{rt}+F(t_0,t)+D_t=0$$

Ahora vamos a detallar el valor de $D_t$ ya que parece tener varias fórmulas asignadas en diferentes respuestas en esta página (disculpas si esto es exagerar el punto). En primer lugar, supongamos que el dividendo es discreto y se paga en el momento $t$ en el vencimiento a plazo: claramente, el valor de $D_t$ sería $qS_{t}$ .

Ahora bien, si dividimos el dominio del tiempo en dos partes iguales, y suponemos que la tasa de dividendos sería $\frac{q}{2}$ pagado a la mitad, reinvertido en las acciones y luego otro dividendo a la tasa $\frac{q}{2}$ pagado al vencimiento, obtendríamos las siguientes operaciones (para simplificar la notación, en la tabla siguiente, $t_1$ es el punto medio en el tiempo, con $t_{1_{-}}$ y $t_{1_{+}}$ siendo los puntos infinitesimales en el tiempo justo antes y justo después $t_1$ . La madurez se denota entonces $t_2$ . Supongo que una vez que se paga el dividendo, se reinvierte inmediatamente):

Evidentemente, si seguimos dividiendo el dominio del tiempo en un número cada vez mayor de $n$ partes y tomar el límite $n\to\infty$ la fórmula de la tabla converge a $S_te^{q}$ (ya que $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{q}{n}\right)^n=e^q$ .) Suponemos que el dominio del tiempo es de 1 unidad de tiempo.

Generalizando, claramente el valor de los dividendos compuestos continuamente y reinvertidos simultáneamente, INCLUYENDO el valor de la 1 unidad de acciones que se ha mantenido todo el tiempo, sería $S_te^{qt}$ .

Al vencimiento, el valor de los dividendos sobrantes sería entonces: $$D_t=S_te^{qt}-S_t=S_t(e^{qt}-1)$$

Volviendo a la ecuación de no arbitraje, ya que $D_t$ es estocástico, tenemos que tomar una expectativa (como se señala acertadamente en los comentarios):

$$-S_0e^{rt}+F(t_0,t)+\mathbb{E}^Q_{t_0}[D_t]=0$$

es decir

$$F(t_0,t)=S_0e^{rt}-\mathbb{E}^Q_{t_0}[D_t]=\\=S_0e^{rt}-\mathbb{E}^Q_{t_0}[S_t(e^{qt}-1)]=\\=S_0e^{rt}(2-e^{qt})$$

Esta respuesta es obviamente diferente a la dada en la pregunta enlazada, y también diferente a la respuesta que se da a continuación. Si es posible, señale de dónde puede venir la diferencia.

EDITAR : Según el comentario de Kurt, la solución es trivial. En lugar de tomar prestado $S_0$ dinero en $t_0$ y comprar una unidad entera de acciones, es suficiente para pedir prestado sólo $S_0e^{-qt}$ para comprar $e^{-qt}$ unidades de acciones, y utilizar los dividendos para hacerlas crecer hasta 1 unidad al vencimiento, según la tabla siguiente:

Trivialmente, en la madurez, obtenemos:

$$F(t_0,t)=S_0e^{rt-qt}$$

Answer 1

De hecho, es sencillo construir la cartera $\Pi_t$ en la que los dividendos se reinvierten en la compra de más acciones, en lugar de poner ese dinero en la cuenta del mercado monetario $e^{\int_0^t r(s)\,ds}\,,$ como se hizo alternativamente en el respuesta vinculada : Es decir, cuando el intervalo de tiempo se divide en pasos $\Delta t$ tenemos $$\tag{A} \Pi_t=S_t\prod_{k=1}^{\lfloor t/\Delta t\rfloor}\Big(1+q\,\Delta t\Big)$$ que refleja el hecho de que en cada fecha de dividendo $t=k\Delta t$ el valor de la cartera aumenta en $\Pi_t\,q\,\Delta t$ que es el valor de las acciones recién compradas. Esta fórmula también refleja el hecho de que las propias acciones recién compradas pagan dividendos que se reinvierten. En el límite $\Delta t\to 0$ obtenemos $$\tag{B} \Pi_t=S_t\,e^{qt}\,.$$ En el caso de Black-Scholes esto es $\Pi_t=S_0\,e^{rt+\sigma W_t-\frac{\sigma^2 t}{2}}\,,$ el GBM de las acciones que no pagan dividendos. De la ausencia de arbitraje se deduce que $$\tag{C} e^{-\int_0^tr(s)\,ds}\,\Pi_t$$ debe ser una martingala. Por lo tanto, $$\tag{D} \Pi_0=S_0=\textstyle\mathbb E\Big[e^{-\int_0^tr(s)\,ds}\,S_t\Big]\,e^{qt}\,.$$ Porque el delantero $F_t$ de la acción está -como siempre- definida por $$\tag{E} \mathbb E\left[e^{-\int_0^tr(s)\,ds}\right]F_t-\mathbb E\left[e^{-\int_0^tr(s)\,ds}S_t\right]=0\,$$ se deduce de (D) que es la misma que en la respuesta vinculada, es decir $$\tag{F} \boxed{F_t=\frac{S_0\,e^{-q t}}{p_t}\,}$$ donde $p_t=\mathbb E[e^{-\int_0^tr(s)\,ds}]\,.$