Cómo obtener el precio a plazo de una acción con dividendo continuo

Question

Dejemos que $F_{t,T}$ sea el precio a plazo de una acción $S$ en el momento $T$ y $t$ sea la hora actual. La acción paga un dividendo proporcional continuo a una tasa de $q$ y el tipo sin riesgo es $r$ . ¿Cómo puedo demostrar que el precio viene dado por $F_{t,T} = S_{t}e^{(r-q)(T-t)}$ ¿preferiblemente con un argumento de no arbitraje?

En el caso de que no haya dividendos, sé que la derivación se puede hacer con un argumento de no arbitraje: el pago a plazo en $T$ es $S_{T}-F_{t, T}$ por lo que una cartera de réplica se compone de una unidad de acción con precio actual $S_t$ y $F_{t, T}e^{-r(T-t)}$ unidades de dinero en efectivo. Dado que $F_{t,T}$ se elige para que el valor inicial del avance sea cero, tenemos $F_{t,T} = S_te^{rt}$ .

En el caso de los dividendos, no estoy seguro de cuál debería ser la retribución final. Me parece que habría que restar el valor acumulado de los dividendos, pero no estoy seguro de la forma que debería adoptar para obtener $F_{t,T} = S_{t}e^{(r-q)(T-t)}$ . Mi suposición inicial fue $\text{AV}(\text{div})_{T} = \int_{t}^{T}q S_t dt$ ya que $qS_tdt$ es el pago de dividendos por acción en $[t, t+dt]$ Pero esto me parece mal, ya que no sé cómo quitar la integral.

Nota: Si es posible, no quiero hacer referencia a una medida neutral de riesgo o al marco Black-Scholes. Creo que la ecuación para $F_{t,T}$ debería mantenerse mientras no haya arbitraje, pero por favor corríjanme si me equivoco.

Answer 1

Cuando la rentabilidad de los dividendos $q$ es constante se puede derivar, de hecho, una fórmula de avance muy sencilla sin supuestos de modelo sobre $S_t$ (véase (4) más abajo). Sólo que no se necesitan argumentos de arbitraje:

El precio a plazo $F_t$ con madurez $t$ es por definición la solución de la ecuación $$\tag{1} \mathbb E\left[e^{-\int_0^tr(s)\,ds}\right]F_t-\mathbb E\left[e^{-\int_0^tr(s)\,ds}S_t\right]=0\, $$ donde $\mathbb E$ es la expectativa bajo la medida de riesgo neutral. Esta ecuación significa que la diferencia de dos valores presentes en esta ecuación debe ser igual. Es un argumento de no arbitraje que dice que el compromiso de hoy de comprar la acción en el momento $t$ por el precio fijo $F_t$ debería valer lo mismo que comprarlo a su precio vigente en el momento $t$ . No creo que podamos evitar la referencia a la medida de riesgo neutral aquí.

Observación lateral: Cuando la acción paga dividendos no es cierto que el precio de la acción deflactado $$ e^{-\int_0^tr(s)\,ds}S_t $$ es una martingala. Pero en cambio (véase [1]) ninguna teoría del arbitraje dicta que el proceso $$\tag{2} M_t:=e^{-\int_0^tr(s)\,ds}S_t+D_t $$ es una martingala donde $D_t$ es el valor actual de todos los dividendos pagados hasta el momento $t\,$ : $$ D_t=\int_0^tq\,S_ue^{-\int_0^ur(s)\,ds}\,du\,. $$ Para entender esto un poco mejor, observe que la cartera formada por la acción más sus dividendos pasados, cuando se pusieron en la cuenta del mercado monetario, es $$ \Pi_t=S_t+\int_0^t q\,S_u\,e^{\int_u^tr(s)\,ds}\,du\,. $$ Se trata de un activo que no da dividendos. Por lo tanto, $e^{-\int_0^tr(s)\,ds}\Pi_t$ debe ser una martingala, y obviamente es igual a $M_t\,.$

De (1), $$\tag{3} F_t=\frac{\mathbb E\left[e^{-\int_0^tr(s)\,ds}S_t\right]}{\mathbb E\left[e^{-\int_0^tr(s)\,ds}\right]}\,. $$ Vamos a escribir $$ p_t:=\mathbb E\left[e^{-\int_0^tr(s)\,ds}\right]\,,\quad\tilde F_t:=p_t\,F_t\,. $$ Entonces, a partir de (2) y del hecho de que $M_t$ es una martingala, \begin{align} S_0&=M_0=\mathbb E\left[e^{-\int_0^tr(s)\,ds}S_t\right]+\int_0^t q\,\mathbb E\left[S_u\,e^{-\int_0^ur(s)\,ds}\right]\,du\\ &=p_t\,F_t+\int_0^tq\,p_u\,F_u\,du\,\\ &=\tilde F_t+\int_0^tq\,\tilde F_u\,du\,. \end{align} Los rendimientos de la diferenciación $$ \frac{d}{dt}\tilde F_t+q\,\tilde F_t=0\,. $$ La solución de esta EDO es $$ \tilde F_t=\tilde F_0e^{-q t}=F_0e^{-qt}=S_0e^{-q t}\,. $$ En otras palabras: $$\tag{4} \boxed{F_t=\frac{S_0e^{-q t}}{p_t}\,.} $$ Los únicos supuestos del modelo en $S_t$ eran que la rentabilidad de los dividendos $q$ era constante.

Cuando el tipo de interés es constante, esto se simplifica a la fórmula conocida $$ \boxed{F_t=S_0e^{(r-q) t}\,.} $$ [1] D. Duffie, Teoría dinámica de los precios de los activos. Princeton University Press, 1991.

Answer 2

La razón por la que el precio a plazo es $S_t e^{-q(T-t)}$ (pongamos $r=0$ ya que esa es la parte fácil) es porque el activo paga una tasa de dividendos continua $q$ . En otras palabras, si hoy compras $e^{-q(T-t)}$ importe de la acción $S_t$ al pedir prestado $S_t e^{-q(T-t)}$ del banco, ya que se está pagando una tasa de dividendos continua, los "dividendos infinitesimales" recibidos pueden reinvertirse continuamente en el activo, de modo que al final del camino tendrá $e^{q(T-t)} \times S_T e^{-q(T-t)} = S_T$ .