Inconsistencia en la definición de excedente del consumidor

Question

Hace dos días, hice una pregunta sobre excedente del consumidor. Pregunté si $$\text{CS en }p_0 = \int_{0}^{q_0} [p(q) - p_0] \ dq = \int_{p_0}^{p_\max} q(p) \ dp$$ se cumple cuando $p_\max$ existe y $D(p_\max) = 0$.

Estaba verificando con un ejemplo hoy y parece que no lo es. Considera $Q_d = 20 - P_d$ y $Q_s = P_s - 5$. Supongamos que el gobierno impone un precio de $p_0 = 8$. Luego

$$\int_{0}^{q_0} [p(q) - p_0] \ dq = 31.5 \neq 72 = \int_{p_0}^{p_\max} q(p) \ dp$$

parece ser el caso aquí. He explicado gráficamente cada cálculo aquí, gracias a Desmos, por lo que el trabajo será más fácil para ti: https://www.desmos.com/calculator/hnjtruvfyj.

Por favor, explique la inconsistencia y si me estoy perdiendo algo.

Answer 1

No hay una inconsistencia. En el segundo caso olvidaste tomar en cuenta que por debajo del precio de equilibrio, la $q(p)$ está determinada por la oferta y no por la demanda. Lo que calculaste sería el excedente del consumidor si la cantidad en el mercado fuera $q(p=8)=12$. Pero la cantidad en el mercado es claramente $q(p=8)=3$ y no $12$.

Esto se debe a que el precio mínimo restringe la cantidad que los consumidores realmente pueden obtener. Debes tener en cuenta esta restricción o obtendrás una respuesta incorrecta.

El problema correcto aquí es

$$\int_{p_0}^{p_{max}} q(p) dp \quad \text{s.t. } q = 3 $$

Esto se puede reescribir como:

$$ \int_{p(q=3)}^{p_{max}} q(p) dp +\int_{p_0}^{p(q=3)} 3 dp = 31.5 $$

Por lo tanto, ambas definiciones son perfectamente consistentes. Simplemente estás cometiendo un error en la segunda definición al asumir que la cantidad en el mercado es 12, cuando claramente, como incluso muestras en tu imagen, la cantidad de mercado con la restricción de precio es 3 y no 12.

Answer 2

Te reporto aquí las ecuaciones que escribiste en Desmos:

Función de demanda (inversa) :

$y\ =\ -x+20 \;\;\;\; \;\;\;\; \;\;\;\; \;\;\;\; \;\;\; (1)$

Función de oferta (inversa):

$y = x+5\;\;\;\; \;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\; \;\;\;\; \;\;(2)$

Integrales en Desmos:

$\int_{8}^{20}\left(-y+20\right)dy\;\;\;\; \;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\; \; (3)$

$\int_{0}^{3}\left(-x+20-8\right)dx.\;\;\;\; \;\;\;\; \;\;\;\;(4) $

Creo que hiciste un error en la integral (4), ya que el límite de integración $3$ es incorrecto. Debes calcular el límite, el $q_0$ en tu publicación original, desde la función de demanda, estableciendo $y=p_0=8$.

El resultado es $q_0=12$. Por lo tanto, $12$ es el segundo límite de integración.

Si integras desde $0$ hasta $12$ obtienes:

$\int_{0}^{12}\left(-x+20-8\right)dx=72.\;\;\;\; \;\;\;\; \;\;\;\;(4')$

[editar] Publicé esta respuesta antes de leer la respuesta de muflon1. Solo vi la pregunta desde un punto de vista matemático, y confundí la demanda y la oferta. Pero la oferta es aquí el 'lado corto' del mercado.