Definición de excedente del consumidor

Question

Varian define el excedente del consumidor al precio $p = p_0$ como $\displaystyle CS(p_0) = \int_{p_0}^{p_\max} q(p) \ dp$ donde $p_\max$ existe y $q(p_\max) = 0$ .

La otra definición que suelo utilizar es $\displaystyle CS(p_0) = \int_{0}^{q_0} [p(q) - p_0] \ dq$ .

¿Son las dos definiciones iguales? He intentado equipararlas y no he podido demostrar que sean iguales. ¿Es incorrecta la segunda definición?

Answer 1

Sí, son las mismas definiciones. Gráficamente las diferentes integrales calculan la misma área sólo que girada 90 grados. Las formas geométricas tienen la misma área independientemente de la rotación.

Prueba general:

Supongamos que tenemos una región de fijo tamaño llamado CS en el cuadrante I del sistema de coordenadas cartesianas delimitado por $p(q)$ y $p= p_0$ . El área de la región vendría dada por:

$$\text{ CS} = \lim_{n \to \infty} \sum [p(q_i)- p_0] \Delta q, \text{with } \quad \Delta q = \frac{q_0-0}{n} $$

Tomando el límite obtenemos:

$$ \text{CS} = \int_{0}^{q_0} [p(q) - p_0] \ dq$$

Ahora integra el mismo fijo zona CS delimitada por $p(q)$ y $p_0$ por $y$ eje.

Dado que CS está acotado por $p(q)$ y $p_0$ en $y$ estamos integrando sobre el intervalo $[p_{max},p_0]$ sobre la función inversa $p(q)^{-1}$ es decir $q=p(q)$ (no incluimos $p_0$ ya que es una función constante y, por tanto, el límite en $y$ eje). Por lo tanto, en $y$ ejes el fijo área de $CS$ se define como:

$$\text{CS}= \lim_{n \to \infty} \sum q(p_i)\Delta p, \text{with} \quad \Delta p = \frac{p_{max}-p_0}{n}$$

tomando el límite que obtenemos:

$$\text{CS}= \int_{p_0}^{p_{max}}q(p)dp$$

Como estamos hablando de $CS$ del mismo tamaño que nosotros:

$$ \int_{0}^{q_0} [p(q) - p_0] \ dq = \text{CS} = \int_{p_0}^{p_{max}}q(p)dp$$

Y de ahí que hayamos demostrado que:

$$ \int_{0}^{q_0} [p(q) - p_0] \ dq = \int_{p_0}^{p_{max}}q(p)dp$$

---

Ejemplo:

Puede comprobarlo probando varias funciones de demanda. Supongamos que tenemos una demanda dada por $Q=100-p$ El precio de equilibrio viene dado por $p=10$ .

Varian:

$$CS(10)= \int_{10}^{100}(100-p)dp= 100(100) -\frac{1}{2}(100)^2-100(10) -\frac{1}{2}(10)^2=4050$$

No Varian:

primero tenemos que resolver la demanda inversa que viene dada por: $p=100-q$ (recordemos que al fijar $p=10 \implies q^*=90).

$$CS(10)= \int_{0}^{90}[(100-q)-10]dp= 4050$$

Esto será válido para cualquier función arbitraria ya que el excedente del consumidor es gráficamente un objeto geométrico y las integrales respectivas son sólo diferentes formas de calcular el área de este objeto dependiendo de cómo se rote el plano con el objeto.

De forma más general, lo que hace Varian se conoce como integración a lo largo del eje y.