Existe una famosa fórmula para la huelga de intercambio de varianza que dice $$ K_{var}^2 = \int_{-\infty}^\infty dz\, n(z) I^2(z) $$ donde $I(z)$ es la función de volatilidad implícita de Black-Scholes, $$ n(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac12 z^2} $$ y $z$ es el Black-Scholes ` $d_2$ Función $$ z = \frac{\log S_t/K}{I\sqrt\tau} - \frac{I\sqrt\tau}{2} $$ Véase, por ejemplo, la diapositiva 7 de este presentación de J. Gatheral (2006).
Primero quiero mostrar heurísticamente que $K_{var}^2 \geq I^2(z=0)$ si la segunda derivada de $I^2(z)$ wrt $z$ es $\geq 0$ para todos $z$ .
Primero, escriba $$ I^2(z) = I^2(0) + z \frac{dI^2}{dz}(0) + \frac{z^2}{2!}\frac{d^2 I^2}{dz^2}(a) $$ para algunos $a\in (0,z)$ . Esto es simplemente el teorema del resto de Taylor y es exacto.
Sustituyendo esto en la expresión integral de la huelga de intercambio de varianza, \begin{align*} \int_{-\infty}^\infty dz\, n(z) I^2(z) &= I^2(0) \int_{-\infty}^\infty dz\, n(z) + \frac{dI^2}{dz}(0) \int_{-\infty}^\infty dz\, zn(z) \\ &\quad + \frac{1}{2!}\int_{-\infty}^\infty dz\, z^2 n(z) \frac{d^2 I^2}{dz^2}(a) \quad (a \in (0,z)) \\ &= I^2(0) + \frac{1}{2!}\int_{-\infty}^\infty dz\, z^2 n(z) \frac{d^2 I^2}{dz^2}(a) \quad (a \in (0,z)) \\ &\geq I^2(0) \end{align*} donde la segunda igualdad se debe a que $\int_{-\infty}^\infty dz\, zn(z) = 0$ porque $z$ es desigual y $n(z)$ es par, y la última desigualdad se deduce de la suposición de que $\frac{d^2 I^2}{dz}(z) \geq 0$ para todos $z$ .
¿Tiene esto sentido?
