Un límite inferior para la huelga de intercambio de varianza

Question

Existe una famosa fórmula para la huelga de intercambio de varianza que dice $$K_{var}^2 = \int_{-\infty}^\infty dz\, n(z) I^2(z)$$ donde $I(z)$ es la función de volatilidad implícita de Black-Scholes, $$n(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac12 z^2}$$ y $z$ es el Black-Scholes ` $d_2$ Función $$z = \frac{\log S_t/K}{I\sqrt\tau} - \frac{I\sqrt\tau}{2}$$ Véase, por ejemplo, la diapositiva 7 de este presentación de J. Gatheral (2006).

Primero quiero mostrar heurísticamente que $K_{var}^2 \geq I^2(z=0)$ si la segunda derivada de $I^2(z)$ wrt $z$ es $\geq 0$ para todos $z$ .

Primero, escriba $$I^2(z) = I^2(0) + z \frac{dI^2}{dz}(0) + \frac{z^2}{2!}\frac{d^2 I^2}{dz^2}(a)$$ para algunos $a\in (0,z)$ . Esto es simplemente el teorema del resto de Taylor y es exacto.

Sustituyendo esto en la expresión integral de la huelga de intercambio de varianza, $$\begin{align*} \int_{-\infty}^\infty dz\, n(z) I^2(z) &= I^2(0) \int_{-\infty}^\infty dz\, n(z) + \frac{dI^2}{dz}(0) \int_{-\infty}^\infty dz\, zn(z) \\ &\quad + \frac{1}{2!}\int_{-\infty}^\infty dz\, z^2 n(z) \frac{d^2 I^2}{dz^2}(a) \quad (a \in (0,z)) \\ &= I^2(0) + \frac{1}{2!}\int_{-\infty}^\infty dz\, z^2 n(z) \frac{d^2 I^2}{dz^2}(a) \quad (a \in (0,z)) \\ &\geq I^2(0) \end{align*}$$ donde la segunda igualdad se debe a que $\int_{-\infty}^\infty dz\, zn(z) = 0$ porque $z$ es desigual y $n(z)$ es par, y la última desigualdad se deduce de la suposición de que $\frac{d^2 I^2}{dz}(z) \geq 0$ para todos $z$ .

¿Tiene esto sentido?

Answer 1

Efectivamente, es perfectamente correcto bajo sus supuestos de trabajo.

De hecho, esto es lo que también señala Gatheral en su libro "La superficie de la volatilidad: A Practioner's Guide' (capítulo 11 sobre los swaps de varianza, páginas 140 y siguientes). En concreto, escribe:

Consideremos ahora la siguiente parametrización simple de la BS implicada de la varianza implícita: $$\sigma^2_{BS}(z) = \sigma^2_0 + \alpha z + \beta z^2$$ Sustituyendo en la ecuación (11.5) e integrando, obtenemos $$E[W_T] = \sigma_0^2 T + \beta T$$ Vemos que la inclinación no hace contribución a esta expresión, sólo la curvatura contribuye.

Caveat : La desviación debe interpretarse aquí en el contexto en el que se define en primer lugar. Corresponde al coeficiente de orden uno en una representación de segundo orden de la BS varianza implícita en torno a $z=0$ (que no es ni ATM, ni ATMF). Por lo tanto, no es el sesgo de volatilidad implícito "habitual $\partial \sigma_{BS}/\partial K$ que la mayoría de los profesionales están acostumbrados a pensar y a la que la huelga justa de un canje de varianza es sensible, ver este pregunta relacionada.