¿Por qué es un swap de varianza de largo sesgar?

Question

Puedo apreciar la matemática de la derivación, pero ¿alguien puede explicar esto de una forma más intuitiva sentido?

Me vienen a menudo a través de la creencia errónea de que, debido a replicar la cartera de ser mucho más baja de los contratos de boca de los contratos, la varianza de intercambio es mucho sesgo. Pero esto es incorrecto, estas ponderaciones son sólo para asegurarse de que el $vega de exposición es igual tanto a la baja como al alza.

Es algo para hacer con volga, es decir, la vega de la mayor vol desventaja contratos aumentará más rápido (debido a un aumento de sesgo) de la vega de la parte inferior vol contratos disminuirá?

Answer 1

Como he mencionado en un comentario, sería erróneo pensar que entrar en un swap de varianza específicamente los montos a ser "largo inclinación".

Lo que usted puede decir, sin embargo, es que, en ausencia de saltos (es decir, en una difusión pura marco, ver aquí y aquí para más info), la feria de la varianza de la huelga de $K_{var}$ en el que una variación de intercambio con nocional $N$ y la rentabilidad

$$ N \times ( \sigma^2_{\text{di cuenta}}(0,T) - K_{var} ) $$

debe el comercio en la siguiente tasa nominal (o la varianza de la huelga)

$$ K_{var} = \frac{2}{B(0,T)T} \left[ \int_0^{F(0,T)} \frac{P(K,T)}{K^2} dK + \int_{F(0,T)}^\infty \frac{C(K,T)}{K^2} dK \derecho] $$ donde $T$ cifras del contrato fecha de vencimiento, $\sigma^2_{\text{di cuenta}}(0,T)$ la varianza de registro-los rendimientos que se va a realizar en el horizonte de $[0,T]$, $B(0,T)$ el factor de descuento, $P(K,T)$ y $C(K,T)$ opción Europea de los precios con la huelga de $K$ y madurez $T$ y $F(0,T)$ el precio a futuro.

Por lo tanto, el precio de una variación de intercambio es simplemente una escala integral de la OTMF precio de la curva: $$ K_{var} \propto \int_0^\infty \frac{V(K,T)}{K^2} dK $$ $$ V(K,T) = \begin{casos} P(K,T) & \text{si } K < F(0,T) \\ C(K,T) & \text{en caso contrario} \end{casos} $$

Ahora, supongamos la siguiente situación donde, $S_0=100$, $r=q=0$ (no neutrales al riesgo de deriva), $T=1$, junto con 3 formas de volatilidad implícita sonrisa en $T$: plana, puro sesgo, puro convexidad. Si calcular la feria de la varianza de la huelga de $K_{var}$ en diferentes configuraciones, usted verá que tanto asimetría negativa y positiva de la convexidad tener un impacto positivo y no específicamente sesgar como parecen indicar. Ver las simulaciones por debajo de donde he expresado la "variación de precios" como $\sqrt{K_{var}}\times 100$ de manera similar a lo que se hace por la volatilidad de los índices, como el índice VIX.

Answer 2

Si usted toma Quantuple las cosas un poco más, usted puede realmente ver si va a largo de sesgo. Puede ver fácilmente que la dependencia de la convexidad demasiado (aunque debería ser obvio que va a largo convexidad).

Así, en primer lugar, necesitamos algunos sonrisa parametrisation que nos permite controlar fácilmente la convexidad y el sesgo. Me fui con un uno;

$$\mathrm{convexidad} = \mathrm{C} = \left. \frac{\partial^2 \sigma}{\partial K^2} \right|_{K=F} \\ \mathrm{sesgar} = \mathrm{S} = \left. \frac{\partial \sigma}{\partial K} \derecho|_{K=F} \\ \sigma_{\mathrm{atm}} = \sigma(F) $$

lo que da:

$$ \frac{1}{2} C (K-F)^2 + S(K-F) + \sigma_\mathrm{atm} $$

*Tenga en cuenta que entiendo que este no es un buen sonrisa, estoy usando como un simple ejemplo.

Entonces, si usted mira una bonita gama extrema de las sonrisas;

$$ -0.001 \leqslant \mathrm{S} \leqslant 0.001\\ 0 \leqslant \mathrm{C} \leqslant 0.0001\\ \sigma_\mathrm{atm} = 20\% $$

tienes un montón de imágenes como Quantuple en la otra respuesta:

Pero, que podemos hacer mejor:

Así que, sí, son mucho sesgo. Pero sólo una muy pequeña cantidad - es mucho más que la convexidad.

Aquí está el código de python para esto si quieres tener un lío con ella.

import numpy as np

def CND(X):
  a1,a2,a3,a4,a5 = 0.31938153, -0.356563782, 1.781477937, -1.821255978, 1.330274429
  L = np.abs(X)
  K = 1.0 / (1.0 + 0.2316419 * L)
  w = 1.0 - 1.0 / np.sqrt(2*np.pi)*np.exp(-L*L/2.) * (a1*K + a2*K*K + a3*np.power(K,3) + a4*np.power(K,4) + a5*np.power(K,5))
  if X<0:
    w = 1.0-w
  return w

def BlackSholes(cp,S,X,T,r,v):
  d1 = (np.log(S/X)+(r+v*v/2.)*T)/(v*np.sqrt(T))
  d2 = d1-v*np.sqrt(T)
  if cp=='c':
    return S*CND(d1)-X*np.exp(-r*T)*CND(d2)
  else:
    return X*np.exp(-r*T)*CND(-d2)-S*CND(-d1)

def C(S,X,T,r,v):
    return BlackSholes("c", S, X, T, r, v)
def P(S,X,T,r,v):
    return BlackSholes("p", S, X, T, r, v)

def B(r,t):
    return np.exp(-r*t)

def vol(k, vol_atm, convexity, skew, atm=100, max_vol=1):
    v = 0.5*convexity*k**2 + (skew - convexity*atm)*k + vol_atm + 0.5*convexity*atm**2 - skew*atm
    return max(1e-5,min(v, max_vol))

import scipy.integrate as integrate
import scipy.special as special
def var_swap(S,T,r,atm_vol, convexity, skew):
    F = S/B(r,T)
    return np.sqrt((2 / (T*B(r,T))) * (integrate.quad(lambda k: P(S, k, T, r, vol(k, atm_vol, convexity, skew, atm=F)) * k**-2, 0, F)[0] + integrate.quad(lambda k: C(S, k, T, r, vol(k, atm_vol, convexity, skew, atm=F)) * k**-2, F, F*5)[0]))


r = 0.0
T = 1.0
S = 100.0
F = S/B(r,T)
print F
atm_vol = 0.2
convexity = 0.0001
skew = 0.001


ks = [k for k in range(1, int(F*2))]

n_scenarios = 20
skews = np.linspace(-skew, skew, n_scenarios)
convexities = np.linspace(0, convexity, n_scenarios)

plot_smiles = False

if plot_smiles:

  import colorsys
  blues = [colorsys.hsv_to_rgb(h, 1, 1) for h in np.linspace(0.5, 0.65, n_scenarios)]
  reds = [colorsys.hsv_to_rgb(h, 1, 1) for h in np.linspace(0.0, 0.15, n_scenarios)]

  from matplotlib import pyplot
  fig = pyplot.figure()
  ax_smiles = fig.add_subplot(1,1,1)
  ax_opts = ax_smiles.twinx()

  for i, (convexity, skew) in enumerate(zip(convexities, skews)):
    vols = [vol(k, atm_vol, convexity, skew, atm=F) for k in ks]
    opts = [BlackSholes("p" if k < F else "c", S, k, T, r, vol(k, atm_vol, convexity, skew, atm=F)) * k**-2 for k in ks]

    ax_smiles.plot(ks, vols, color=blues[i])
    ax_opts.plot(ks, opts, color=reds[i])

  pyplot.show()

else:

  CC = np.linspace(0, convexity,n_scenarios)
  SS = np.linspace(-skew, skew,n_scenarios)

  CC, SS = np.meshgrid(CC, SS)

  VV = np.empty(CC.shape)
  for i in range(CC.shape[0]):
    for j in range(CC.shape[1]):
      VV[i,j] = var_swap(S, T, r, atm_vol, CC[i,j], SS[i,j])

  from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
  from matplotlib import cm
  from matplotlib.ticker import LinearLocator, FormatStrFormatter
  import matplotlib.pyplot as plt

  fig = plt.figure()
  ax = fig.gca(projection='3d')
  surf = ax.plot_surface(CC, SS, VV, rstride=1, cstride=1, cmap=cm.jet, linewidth=0, antialiased=True)

  ax.set_xlabel("Convexity")
  ax.set_ylabel("Skew")
  ax.set_zlabel("Var. Swap par rate")
  ax.set_ylim(ax.get_ylim()[::-1])

  plt.show()

Hay un problema aquí, sin embargo - este es el valor teórico de una variación de intercambio. El mercado no es el comercio de estas de acuerdo con el valor teórico, hay una diferencia que no he visto una forma de contabilizar todavía. La solución a esto es que puede almacenar una tabla de varswap la par de los diferenciales de tasas que pueden ser interpelados y se aplica a varswaps en las correspondientes fechas de inicio y fin.

Esta difusión no viene de la estocástico vol, me parece ser una especie de seguro contra el desagradablemente grandes costos cuando algo sucede. La alternativa es el comercio de corredor de swaps de varianza (es decir, la varianza sólo se devenga cuando el índice está dentro de un corredor), para limitar la probabilidad de este inconveniente.

Usted puede conseguir fácilmente sesgar la exposición con oficios como el de arriba, aunque, si la varianza es sólo acumular cuando el subyacente está por encima/por debajo de un cierto nivel, entonces usted va a ser largo/corto de sesgo cuando el subyacente es cerca de la barrera - porque cuando sólo estás buscando en uno de los lados de un punto, el sesgo y la convexidad tener efectos similares.

Answer 3

Además de las respuestas ya dadas, otra forma de ver esto en el contexto de un modelo de volatilidad estocástica es la siguiente:

El sesgo está fuertemente influenciado por la correlación entre el lugar y la volatilidad. Sin embargo, el precio de un derivado de la volatilidad no depende del parámetro de correlación. Por lo tanto, una variación de intercambio no es largo (o corto) skew / independiente del parámetro de correlación, como es la volatilidad de swap y otros pura volatilidad de los derivados.

Ella (la varianza de la huelga y vol derivados en general) no depende de la convexidad a pesar de (que es determinado por el vol de vol).