Creo que estás confundiendo la tasa de deporte instantánea $r(t)$ con un tipo de interés al contado continuamente compuesto $R(t,T)$ .
La tarifa deportiva instantánea $r(t)$ es sólo una tasa sobre un intervalo infinitesimal $dt$ y este tipo no es observable, porque el tipo más corto que se negocia es el tipo a un día, es decir, el tipo a un día.
El tipo de interés al contado compuesto continuamente $R(t,T)$ vigente en el momento t para el vencimiento T es el tipo constante al que una inversión de $P(t, T)$ unidades de moneda en el momento t se acumula continuamente para producir una unidad de moneda al vencimiento $T$ es decir $P(T,T)=1$ en las fórmulas:
$$R(t,T)=-\frac{lnP(t,T)}{T-t}$$
entonces, por supuesto
$$P(t,T)=e^{-R(t,T)(T-t)}$$
donde $P(t,T)$ es el bono de cupón cero o el factor de descuento.
Obsérvese que nuestra curva de rendimiento no es continua, sino una construcción discreta. Normalmente se construye a partir de instrumentos con vencimiento 1D, 2D, 1W, 1M, 3M, 6M, 1Y, 2Y, ... etc. Por lo tanto, decimos que $R(t,T)$ es observable. Incluso si queremos negociar un vencimiento que no está en nuestra curva de rendimiento, digamos 3,5 meses, podemos hacerlo en la práctica, si pagamos una ligera prima. Pero no podemos negociar $r(t)$ No podemos negociar préstamos/depósitos en un intervalo de 1 milisegundo o de unos pocos segundos - no es cotizado y por lo tanto no es observable.
Obsérvese que si se conocen los parámetros del modelo Vasicek (o de cualquier modelo de tasa corta) y la tasa instantánea $r(t)$ entonces se pueden calcular los precios de los bonos $P(t,T)$ para todos $T$ y luego calcular los tipos al contado $R(t,T)$ para todos los vencimientos $T$ . Por lo tanto, la ecuación de precios de los bonos permite calcular $R(t,T)$ basado en $r(t)$ .
Observe que $$P(t,T)=E^Q[e^{-\int_t^T r(s) ds}]$$
entonces
$$R(t,T)=-\frac{ln(E^Q[e^{-\int_t^T r(s) ds}])}{T-t}$$
Bien, entonces, ¿cómo estimamos $r(t)$ ?
Entonces podemos preguntarnos cómo podemos utilizar la ecuación de precios para los bonos cuando no sabemos $r(t)$ ? En la práctica, sólo asumimos que el $r(t)$ es igual a la tasa más corta $R(t,T)$ en la curva de rendimiento, el tipo a 1 día o a 1 semana. Es decir $$r(t)=R(t,t+1/365)$$
¿Por qué? Porque podemos interpolar la tasa $r(t)$ de la curva de rendimiento. Obsérvese que sabemos $P(t,t)$ - es sólo igual a 1, también sabemos que $P(t,t+1/365)$ En base a estos dos factores de descuento podemos interpolar $r(t)$ y será igual a $R(t,t+1/365)$ cuando utilizamos la interpolación log-lineal. Por favor, compruebe mi respuesta aquí enlace
