Cálculo del tipo de interés a corto plazo a partir de la curva de descuento

Question

Actualmente estoy viendo un código que implementa el modelo Hull-White. Como una de las entradas, el código acepta una tabla de factores de descuento en varias fechas.

Tiempo en años

Factor de descuento

0

1

0.003

0.9998843333803

0.083

0.9968031327369

0.167

0.9935687092306

...

...

Un paso del programa consiste en calcular una tasa corta inicial $r$ . Decidí que, en ausencia de técnicas sofisticadas de suavización, la mejor estimación de $r$ es

$$ r = - \frac{\ln(0.9998843333803)}{0.003}\text{.}\tag{1}$$

Sin embargo, la persona que escribió el código antes que yo hace algo muy diferente. Primero calculan el rendimiento en tiempos $t=0.003$ y $t=0.083$ :

$$\text{Yield}(.003) = \frac{1.0 - 0.9998843333803}{.003 \cdot 0.9998843333803}\tag{2}$$ y $$\text{Yield}(0.083) = \frac{1.0 - 0.9968031327369}{0.083 \cdot 0.9968031327369}\text{.}\tag{3}$$

A continuación, el autor del programa utiliza la interpolación lineal para calcular la tasa corta $r$ :

$$r = \frac{\text{Yield}(0.083) - \text{Yield}(.003)}{0.083 - .003} (0 - .003) + \text{Yield}(.003)\text{.}\tag{4}$$

Este valor se aproxima a la estimación (1).

Necesito hacer ingeniería inversa del proceso de toma de decisiones que tuvo el programador original al escribir su código. Tengo algunas preguntas al respecto:

1. ¿Es la estimación de la pantalla (1) una buena estimación de la tasa corta?
2. ¿Es la estimación de la pantalla (4) una buena estimación de la tasa corta? Me parece que "extrapolaron los rendimientos para obtener una aproximación del 'rendimiento en el momento 0'". No estoy seguro de por qué esa debería ser la tasa corta en el entorno de Black-Scholes/HW.
3. ¿Qué razones tendría un autor para elegir la interpolación lineal en lugar del método de la pantalla (1)?

Answer 1

Para simplificar, digamos que su tiempo $0.003$ equivale a 1 día, y su segundo pilar (probablemente $0.083$ en lugar de $0.00833$ ) equivale a 1 semana.

Lo que usted hace : Aproxima el tipo corto con el tipo de interés a 1 día.

Lo que hacen : Emplear a otros información sobre la forma de la curva de rendimiento en el extremo corto, es decir extrapolando desde los dos primeros pilares disponibles, es decir, 1d y 1w, hasta el nodo de tarifa corta. NB : Identifican la tasa corta con una interpolación en produce como en el comentario de mmencke.

Para la mayoría de las situaciones prácticas, no debería haber demasiada diferencia, como has observado. La cuestión entonces es si confía en la información de la forma del extremo corto para el instantánea al contado. Personalmente, yo utilizaría el pilar de 1 día como en su ecuación (1).

Answer 2

Creo que su enfoque es exacto.

Que los precios del mercado $P^M(0,T)$ de bonos cero se dé para algunos vencimientos $T_1,...,T_m$ . Dejemos que $P^M(0,T_0)=1$ para $T_0=0$ . Los precios de mercado de los bonos cero deben ser calculados para $t \in [T_i,T_{i+1}]$ y $0 \leq i \leq m$ utilizando la interpolación lineal logarítmica $$ln P^M(0,t)=lnP^M(0,T_i)+\frac{t-T_i}{T_{i+1}-T_i}*(lnP^M(0,T_{i+1})-lnP^M(0,T_i))$$ Calculamos el tipo de interés a plazo instantáneo $f^M(0,t)$ como la derivada del lado izquierdo de la siguiente manera $$f^M(0,t)=-\lim_{\Delta\to 0} \frac{lnP^M(0,t+\Delta)-ln P^M(0, t)}{\Delta}$$ Entonces, utilizando nuestra función de interpolación obtenemos: $$f^M(0,t)=- \frac{lnP^M(0,T_{i+1})-ln P^M(0, T_i)}{T_{i+1}-T_i}$$ sustituyendo lo que tenemos de datos obtenemos $$f^M(0,0)=- \frac{lnP^M(0,0.003)-ln P^M(0, 0)}{0.003}$$ $$f^M(0,0)=- \frac{lnP^M(0,0.003)}{0.003}=r(0)$$

porque sabemos que $f^M(0,0)=r(0)$

Referencia: Vladimir Ostrovski, Simulación eficiente y exacta del modelo Hull-White