Esta pregunta es diferente a fijación de precios mediante el modelo de volatilidad local dupire y ¿Es el modelo de volatilidad local de Dupire independiente de la trayectoria para recuperar el precio histórico de las opciones?
También pregunté esto en Math Stack Exchange y me di cuenta de que sería mejor preguntarlo aquí.
He estado leyendo sobre el modelo de volatilidad local de Dupire. He encontrado formas de calcular la volatilidad local por lo que para mi pregunta podemos suponer que se conoce.
Más concretamente, se considera constante a trozos entre los strikes y los tenores, por lo que tengo una superficie de volatilidad local que debería estar definida para todos los tiempos y strikes.
A partir de aquí me pregunto cómo puedo pensar en resolver la ecuación de Dupire y recuperar las densidades de probabilidad neutrales al riesgo. No estoy súper familiarizado con las ecuaciones diferenciales estocásticas, así que espero poder recibir ayuda para razonar el problema.
Mi intento
La ecuación de Dupire tiene la forma $dS_t=_tS_tdt+(S_t,t)S_tdW_t$ donde $S_t$ es el precio de las acciones en el momento $t$ , $_t$ es el término de deriva, $$ es la volatilidad local y $W_t$ es un proceso Wiener. Además, $S_t|_{t=0}=S_0$ .
Para simplificar, he tomado $_t=0$ .
Es en este punto donde me he confundido sobre cómo definir las restricciones necesarias para resolver la integral de Ito.
En primer lugar, considero que $S_0$ es el precio al contado del subyacente del derivado. Si resolvemos esta SDE, ¿encontramos entonces cómo evoluciona el precio al contado a lo largo del tiempo? ¿Cómo ayuda eso a la fijación de precios de las opciones? Si $S_0$ no es el precio al contado, ¿qué es en cambio? ¿Es el precio de una opción con un strike determinado a $t=0$ y entonces estamos resolviendo los precios de las opciones en ese strike a través del tiempo?
Si este es el caso, ¿resuelvo esta SDE para cada precio a futuro que quiero consultar y simplemente hago que mi función de volatilidad sea una función del tiempo?
Una vez que haya fijado el precio de mis opciones, simplemente planeo tomar la segunda derivada del precio con respecto al strike en cada tenor para encontrar la densidad de probabilidad neutral al riesgo. Supongamos para este problema que los tenores y los strikes son lo suficientemente densos como para que la diferenciación tenga sentido.
Encontré toda esta información en la clase 1: Volatilidad estocástica y volatilidad local, de Jim Gatheral, http://web.math.ku.dk/~rolf/teaching/ctff03/Gatheral.1.pdf
