Es Dupire local de la volatilidad del modelo de ruta de acceso independiente para recuperar histórica del precio de la opción?

Question

Generalmente cuando nos implementar Dupire local de la volatilidad del modelo, siga los pasos a continuación:

1. Calcular la volatilidad implícita de los datos históricos
2. Ajuste de la volatilidad implícita de los temblores. Así también sabemos que la correspondiente opción de precios.
3. El uso de la Dupire la Fórmula para calcular el local de la volatilidad de los $$\sigma_{col}^2(K,T) = \frac{\partial_TC(K,T) + rK\partial_KC(K,T)}{\frac{1}{2}K^2\partial_{KK}C(K,T)}$$.
4. El uso de la SDE $$dS_t = r_tS_tdt + \sigma_{col}(S_t, t) S_t dW_t$$ para hacer la simulación de Monte Carlo para obtener cualquier llamada de precio de la opción que queremos.

Tengo un par de preguntas:

1. Qué hay de las diferencias entre la opción de llamada de los precios desde el paso 2 y el paso 4?
2. El uso de datos históricos, se puede generar puntos discretos en la volatilidad implícita de la superficie. Si fijamos los puntos e independientemente de la forma de la volatilidad de sesgo, podríamos perfectamente recuperar el histórico de la opción de compra de los precios utilizando Dupire la Fórmula independientemente de simulación de la ruta?

Existe una prueba formal o una explicación detallada de los dos anteriores?

Answer 1

Algunos pensamientos sobre los pasos por favor:

1):normalmente calibrar Dupire basado en la opción actual de los precios; por lo que no calcular la volatilidad implícita de los precios históricos del subyacente (suponiendo que esto se entiende), pero la opción actual de los precios. Los precios que se suelen citar en términos de la volatilidad implícita, por lo que en la mayoría de los casos, no es necesario para calcular la volatilidad implícita.

2): Esta es una de las muchas posibles maneras de abordar el problema de calibración, y que se necesita para generar más granular de datos de entrada - precio del mercado citas (que podría ser en la forma de IV) puede ser muy escasa, y necesitamos más datos granulares lo largo tanto de la huelga y la madurez de la dimensión.

3): se necesita algo de aproximación finita de fórmulas para la estimación de las derivadas que aparecen en esta fórmula, pero supongo que esto está implícito en la declaración.

Ahora la recalificación de las dos preguntas:

1): Si el modelo está correctamente implementado, el precio producido por el MC debe coincidir con los precios de los insumos. La única diferencia conceptual entre los dos precios podría deberse al hecho de que el mercado los precios están expresados en términos de Black Scholes IV, y el Dupire en términos de precios de mercado directamente, sino que es sólo una presentación de la materia.

2): La respuesta corta es no, como Dupire del modelo de usos y trata de explicar la opción actual de los precios (no el histórico o el futuro).

Espero que esto ayude!