Modelo de Solow con DRS y capital humano

Question

Esta es una pregunta de autoestudio. Soy novato en esto y sólo tengo conocimientos básicos para resolver este tipo de problemas.

\begin{align} Y &= AK^\alpha H^\beta \\ \dot{K} &= s_KY - \delta K \\ \dot{H} &= s_HY^\psi - \delta H \\ \end{align}

Dada, $\alpha + \beta <1$ (DRS) y $\psi \in (0,1]$ . También $A(t) = A(0)e^{gt}$

El objetivo es encontrar un camino de crecimiento equilibrado (BGP).

Ahora leo que desde Teorema de Uzawa En el caso de que se produzcan cambios en el sistema, las tasas de crecimiento de todos serán iguales en BGP. Pero el teorema es aplicable sólo para SIR. Como Uzawa no es aplicable, no puedo diseñar una buena variable de capital efectivo por trabajo para poner $\dot{k}=0$ .

Utilizando que las tasas de crecimiento son constantes sólo pude llegar hasta:

\begin{align} (s_k Y/K)/(s_HY^\psi/H) &= constant \\ Y^{1-\psi}H/K &= constant \\ \implies (1-\psi)g_Y + g_H - g_K &= 0 \end{align}

La segunda ecuación procede de la función de producción: $g_Y = g + \alpha g_K + \beta g_H$ .

Todavía me quedan dos ecuaciones y tres variables. No estoy seguro de cómo seguir adelante o si esto es útil en absoluto.

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EDITAR : Una pequeña aclaración: BGP se define en la pregunta como el estado cuando todos los factores crecen a un ritmo constante.

Ahora, basándose en los comentarios, la segunda y la tercera ecuación se pueden utilizar para obtener: $g_Y = g_K$ y $g_H = \psi g_Y$ . Usando estos dos puedo obtener rápidamente la ruta BGP. Ahora la duda es si este enfoque es correcto en general. Porque aquí he asumido directamente que BGP existe, es decir, que existe una ruta estable. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Como se indica en mi comentario anterior, para $\psi=1$ Su modelo está anidado en el de Mankiw/Romer/Weil (1992). Puede reescribir la producción como

$$ Y = A{K^\alpha }{H^\beta } = {K^\alpha }{H^\beta }{\left( {\tilde AL} \right)^{1 - \alpha - \beta }} $$

con $\tilde A= A^{\frac{1}{1-\alpha-\beta}}$ que denota el progreso tecnológico que aumenta la mano de obra y $L=1$ . Esto le permite dividir por $\tilde AL$ para tener su sistema en forma intensiva:

$$ \begin{align} y &= \left( k \right)^\alpha \left( h \right)^\beta \\ \dot k &= {s_K}y - \left( {\delta + g} \right)k \\ \dot h &= {s_H}y - \left( {\delta + g} \right)h \\ \end{align} $$

En estado estacionario con $\dot k = \dot h =0$ Esto le da inmediatamente que los ratios de las existencias de capital con respecto a la producción son constantes.

Pero con $\psi<1$ habrá un término dependiente de la tecnología en la ecuación de estado estacionario para el capital humano

$$ 0 = {s_h}y^\psi{\left( {\tilde AL} \right)^{\psi -1}} - \left( {\delta + g} \right)h $$ que es una contradicción. Así que por lo que veo, no hay BGP en este caso.

Apéndice : Para aclarar la definición, la definición del libro de texto de Acemoglu (2008) es

Por crecimiento equilibrado entendemos una trayectoria de la economía consistente con los hechos de Kaldor (Kaldor, 1963), es decir, una trayectoria en la que, mientras el producto per cápita la producción per cápita, la relación capital-producción, el tipo de interés y la distribución de la renta entre el capital y el trabajo se mantienen más o menos constantes. constante.

Este no sería el caso con respecto al capital humano.

Si no te importa el equilibrio entre las relaciones entre los factores y la producción, es decir, un estado estacionario en alguna forma adecuadamente normalizada, entonces hay al menos una trayectoria de crecimiento estable en este modelo con $$ {g_Y} = g + \alpha {g_K} + \beta {g_H} = \left( {1 + \alpha } \right)g + \beta {g_H} = \left( {1 + \alpha } \right)g + \beta \psi {g_Y} = \left( {1 + \alpha + \beta \psi } \right)g $$

Por el contrario, las participaciones en la renta con mercados competitivos en los que se paga a los factores su producto marginal serán constantes debido a la hipótesis Cobb-Douglas. Por ejemplo $$ \begin{align} {F_K} &= \alpha A{K^{\alpha - 1}}{H^\beta } = \alpha \frac{Y}{K} \\ \frac{{{F_K}K}}{Y} &= \alpha \\ \end{align} $$ Pero debido a que no hay CRS es necesario asumir que el resto de la producción $1-\alpha-\beta$ va al factor fijo trabajo $L=1$