Modelo de Solow: Estado estacionario frente a senda de crecimiento equilibrado

Question

Bien, tengo verdaderos problemas para distinguir entre el concepto de estado estacionario y la senda de crecimiento equilibrado en este modelo:

$$ Y = K^\beta (AL)^{1-\beta} $$

Me han pedido que derive los valores del estado estacionario para el capital por trabajador efectivo:

$$ k^*=\left(\frac{s}{n+g+ \delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }} $$

Así como la relación de estado estacionario entre el capital y la producción (K/Y):

$$ \frac{K^{SS}}{Y^{SS}} = \frac{s}{n+g+\delta } $$

Encontré ambas cosas bien, pero también me han pedido que encuentre el "valor en estado estacionario del producto marginal del capital, dY/dK". Esto es lo que he hecho:

$$ Y = K^\beta (AL)^{1-\beta} $$ $$ MPK = \frac{dY}{dK} = \beta K^{\beta -1}(AL)^{1-\beta } $$

Sustituyendo a K en el estado estacionario (calculado al calcular el estado estacionario para la relación K/Y anterior):

$$ K^{SS} = AL\left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }} $$

$$ MPK^{SS} = \beta (AL)^{1-\beta }\left[AL\left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}\right]^{\beta -1} $$

$$ MPK^{SS} = \beta \left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{\beta -1}{1-\beta }} $$

En primer lugar, necesito saber si este cálculo del valor de MPK en estado estacionario es correcto.

En segundo lugar, me han pedido que esboce las trayectorias temporales de la relación capital-producto y del producto marginal del capital, para una economía que converge a su senda de crecimiento equilibrado "desde abajo".

Tengo problemas para entender qué es exactamente la senda de crecimiento equilibrado, en contraposición al estado estacionario, y cómo utilizar mis cálculos para averiguar cómo deberían ser estos gráficos.

Perdón por el mamotreto de post, ¡cualquier ayuda es muy apreciada! Gracias de antemano.

Answer 1

Es entonces cuando el intento de precisión crea confusión y malentendidos.

En su día, los modelos de crecimiento no incorporaban el progreso tecnológico y conducían a un equilibrio a largo plazo caracterizado por constante magnitudes per cápita. Verbalmente, el término "estado estacionario" parecía apropiado para describir tal situación.

Luego llegaron Romer y los modelos de crecimiento endógeno, que también empujaron a los modelos más antiguos a empezar a incluir como característica rutinaria factores de crecimiento exógenos (aparte de la población). Y "de repente", los términos per cápita no eran constantes en el equilibrio a largo plazo, sino que creciendo a un ritmo constante . Inicialmente, la bibliografía describía esta situación como "estado estable en las tasas de crecimiento".

Entonces parece que la profesión pensó algo así como que "es inexacto utilizar aquí la palabra "constante" porque las magnitudes per cápita están creciendo". Lo que ocurre es que todas las magnitudes crecer en un equilibrado (es decir, al mismo ritmo, por lo que sus proporciones se mantienen constantes). Y como crecen, siguen una camino ..." Eureka!: nació el término "senda de crecimiento equilibrado".

...Para frustración de los estudiantes (al menos), que ahora tienen que recordar que, por ejemplo, el "camino de la silla de montar" es efectivamente un camino en el diagrama de fases, ¡pero la "trayectoria de crecimiento equilibrado" es sólo un punto! (porque para dibujar realmente un diagrama de fase y obtener un buen equilibrio a largo plazo, expresamos magnitudes por trabajador efectivo, y estas magnitudes sí tienen un estado estacionario tradicional. Pero seguimos llamándola "senda de crecimiento equilibrado", porque las magnitudes per cápita, que es lo que nos interesa, en nuestro enfoque individualista), siguen creciendo).

Por lo tanto, "senda de crecimiento equilibrado" = "estado estacionario de las magnitudes por unidad de eficiencia del trabajo", y supongo que puedes deducir el resto para tu diagrama de fases.

Answer 2

A root de la conversación con el usuario @denesp en los comentarios de mi respuesta anterior, tengo que aclarar lo siguiente: el dispositivo gráfico habitual que utilizamos relacionado con el modelo básico de crecimiento de Solow (ver por ejemplo aquí , figura 2) no es un diagrama de fase, ya que razonablemente llamamos "diagramas de fase" a los que contienen loci de cambio cero, identificamos los puntos de cruce de los mismos como puntos fijos de un sistema dinámico y examinamos sus propiedades de estabilidad. Y esto no es lo que hacemos con el modelo de Solow. Así que fue un uso descuidado de la terminología por mi parte.

No obstante, podemos dibujar un "diagrama semifase" para el modelo de crecimiento de Solow, en $(y,k)$ espacio. Entendiendo los símbolos como "por unidad de eficiencia de trabajo" tenemos el sistema de ecuaciones diferenciales (mientras $y=f(k)$ )

$$\dot k = sy - (n+\delta+g)k$$

$$\dot y = f'_k(k)\cdot \dot k$$ Escribiendo la ecuación de cambio cero como una desigualdad débil para mostrar también las tendencias dinámicas, tenemos

$$\dot k \geq 0 \implies y \geq \frac {n+\delta+g}{s} k$$

$$\dot y \geq 0 \implies \dot k \geq 0$$

Así que este sistema da una solo El lugar del cambio cero, una línea recta. No hay puntos de cruce para identificar un punto fijo ¿Qué podemos hacer? Dibujar también la función de producción en el diagrama, ya que, en realidad, la $(y,k)$ el espacio es unidimensional, no es un área, sino una línea. Entonces obtenemos

Las flechas verticales/horizontales que indican las tendencias dinámicas provienen propiamente de las desigualdades débiles anteriores (ambas $y$ y $k$ tienden a crecer cuando están por encima del locus de cambio cero). Entonces, como $y$ y $k$ están obligados a moverse sobre la línea de puntos (que es la función de producción), se deduce que se mueven hacia su punto fijo, sin importar de dónde partamos. En este caso, el gráfico de la función de producción representa esencialmente el camino hacia el equilibrio a largo plazo, ya que la convergencia es monótona.