Derivada del precio al cuadrado: Igualando S^2 + una tira de llamadas otm + una tira de puts otm = sólo llamadas

Question

En Peter Carr, Dilip Madan, Towards a Theory of Volatility Trading, 1998, (también derivado aquí por Gordon), tanto las opciones de compra como las de venta se utilizan para replicar cualquier pago dos veces diferenciable. Supongo que uno elegiría el atm fwd para ser el kappa y luego utilizaría las opciones otm para valorar el derivado.

En la respuesta a Replicar una derivada cuadrada con calls y puts El pago de la derivada al cuadrado se replica sólo con opciones de compra.

¿Cómo demostramos que la fórmula original del artículo de Carr y Madan y la réplica utilizando sólo opciones de compra son iguales?

Esto parece estar relacionado con la paridad put-call y la integración del spot para obtener el primer término de la fórmula original. Pero estoy perdido con la forma en que el término de huelga en la paridad put-call se manejan.

Answer 1

Para una función suficientemente suave $f$ y la constante positiva $a$ , \begin{align*} f(x) &= f(a) + f'(a) (x-a) + \int_a^{\infty}(x-u)^+f''(u)du + \int_{0}^a(u - x)^+f''(u)du. \end{align*} Entonces \begin{align*} S_T^2 &= a^2 + 2a(S_T-a) + 2\int_a^{\infty}(S_T-u)^+du + 2\int_{0}^a(u - S_T)^+du\\ &=a^2 + 2a(S_T-a) + 2\int_0^{\infty}(S_T-u)^+du + 2\int_{0}^a\Big[(u - S_T)^+-(S_T-u)^+\Big]du\\ &=a^2 + 2a(S_T-a) + 2\int_0^{\infty}(S_T-u)^+du +2\int_{0}^a (u - S_T)du\\ &=a^2 + 2a(S_T-a) + 2\int_0^{\infty}(S_T-u)^+du + a^2-2aS_T\\ &=2\int_0^{\infty}(S_T-u)^+du. \end{align*}