Replicar una derivada cuadrada con calls y puts

Question

Tengo un derivado que se paga $S_T^2$ en el momento $T > 0$ con $S_T$ que denota el precio de una acción que no paga dividendos en $T$ . Me encontré con una pregunta acerca de cómo se puede replicar estáticamente este derivado con las llamadas de vainilla y pone.

Mi opinión es que es imposible hacerlo en todo el soporte de $S_T$ . Dado que la función cuadrada domina una función lineal eventualmente y la opción de compra es lineal en $S_T$ para $S_T$ lo suficientemente grande, no puede haber una secuencia de combinaciones lineales de opciones de compra y de venta que converja al pago de esta derivada puntualmente. También me dieron una pista de que debería considerar la integración. Soy consciente de que $S_T^2$ puede escribirse como $S_T^2 = 2\int_0^{S_T}x\,dx$ pero no estoy seguro de que sea eso lo que insinúa la pista. Se agradece cualquier consejo/solución.

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin{align*} S_T^2 = 2\int_0^{S_T} k dk. \end{align*} Entonces \begin{align*} S_T^2 &= 2S_T^2-2\int_0^{S_T} k dk\\ &=2S_T\int_0^{S_T}dk-2\int_0^{S_T} k dk\\ &=2\int_0^{S_T} (S_T-k)dk\\ &=2\int_0^{\infty} (S_T-k)^+dk. \end{align*} Para la partición $0=k_0 < k_1 < \cdots < k_n < \infty$ , \begin{align*} S_T^2 &=2\int_0^{\infty} (S_T-k)^+dk\\ &\approx 2\sum_{i=1}^n (k_i-k_{i-1})(S_T-k_i)^+. \end{align*} Es decir, puede ser replicado por una cartera de opciones de compra. La réplica mediante opciones de venta es similar.