¿Por qué el término de difusión sigue siendo el mismo cuando cambiamos la medida de los precios?

Question

Considere algún proceso de Itô $dS(t)=\mu(t)dt+\sigma(t)dW^{\mathbb P}_{t}$ en el marco de la medida $\mathbb P$ , donde $W^{\mathbb P}$ es un $\mathbb P$ -Movimiento browniano

En muchos ejemplos de tipos de interés, he visto que intentamos encontrar una medida bajo la cual $S(t)$ está sin rumbo, es decir $dS(t)= \sigma(t) dW_{t}^{\mathbb Q}$ , donde $W^{\mathbb Q}$ es un $\mathbb Q$ Movimiento browniano.

Mi pregunta es sencilla: ¿Por qué el $\sigma(t)$ ¿tiene algo que ver con el hecho de que las medidas $\mathbb Q$ y $\mathbb P$ ¿son equivalentes?

Answer 1

Tiene que ver con el teorema de Girsanov que relaciona las medidas equivalentes $\mathbb Q$ y $\mathbb P\,.$ Para que quede intuitivamente claro lo que ocurre, me gusta poner el siguiente ejemplo del "bebé Girsanov": Sea $X$ sea normal estándar que tenga una densidad de probabilidad $$ p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} $$ en $\mathbb P\,.$ Si la medida equivalente $\mathbb Q$ está relacionado con $\mathbb P$ por la densidad Radon-Nikodym $$ q(x)=e^{\mu x-\mu^2/2} $$ entonces es sencillo ver que $X$ tiene bajo $\mathbb Q$ la densidad $$ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2}}\,. $$ Claramente, bajo $\mathbb Q$ , $X$ tiene la misma varianza (parámetro de difusión) pero una media diferente (deriva).

Answer 2

Introducción : Creo que la intuición es súper importante para este caso, por lo que mi respuesta a continuación se centra en la intuición aquí.

Respuesta corta

El parámetro de volatilidad pretende describir el comportamiento de $S(t)$ mientras que la deriva sólo describe las probabilidades del instrumento $S(t)$ subiendo o bajando: la modificación de la deriva (y, por tanto, de las probabilidades de "subida" y "bajada") nos permite obtener medidas de probabilidad equivalentes, lo que a su vez nos permite fijar el precio de los derivados (por ejemplo).

Sin embargo, si cambiamos el parámetro de volatilidad, la ecuación de $S(t)$ ya no describiría el instrumento $S(t)$ .

Respuesta larga

Voy a dar una respuesta "a dedo", a nivel intuitivo.

Es bien sabido que un modelo de árbol binomial multiplicativo converge al modelo GBM continuo que usted ha incluido en su pregunta (véase por ejemplo aquí ). Por lo tanto, podemos tomar el árbol binomial como ejemplo intuitivo sin pérdida de generalidad.

Supongamos que dibujamos un árbol binomial para el proceso $S(t)$ en el marco de la medida $\mathbb{P}$ Las tasas son cero y las probabilidades de un movimiento alcista y bajista son ambas del 50%. El árbol es el siguiente:

Este árbol produce una "deriva" del 2,5% por período. Además, a nivel intuitivo, el tamaño del movimiento "hacia arriba" y "hacia abajo" describe la volatilidad de este instrumento $S$ el valor esperado bajo $\mathbb{P}$ después del primer período es de 102,5, y la varianza en ese primer período es $0.5*(110-102.5)^2 +0.5* (95-102.5)^2=56.25$ (varianza ~ volatilidad).

(Supongamos que otro instrumento con un precio inicial de 100 tuviera un árbol diferente con precios de 107 y 98 después del primer periodo: también tendría una deriva del 2,5%, pero la varianza sería -por supuesto- menor).

Ahora el punto es que bajo esta medida $\mathbb{P}$ (por si acaso, supongamos que es la medida del mundo real), no se puede fijar el precio de los derivados sobre el instrumento $S$ porque esta medida del mundo real $\mathbb{P}$ no está libre de arbitraje. Así que quieres llegar a una medida equivalente $\mathbb{Q}$ que le permitirá fijar el precio de los derivados en $S$ sin arbitraje: pero se quiere conservar el árbol original que representa el mapa de precios de $S$ .

En otras palabras, no quieres cambiar el comportamiento del instrumento $S$ Si se quiere jugar con las probabilidades de los movimientos "hacia arriba" y "hacia abajo", la idea es que el árbol de precios describe el comportamiento "real" del instrumento $S$ Por lo tanto, cambiarla anularía el propósito de fijar el precio de los derivados en $S$ (y como se ha aludido anteriormente, cambiar el árbol equivale a cambiar la varianza, es decir, la "volatilidad", es decir $\sigma$ ).

Demostrando la probabilidad de un "movimiento al alza" como $p$ la medida $\mathbb{Q}$ que está libre de arbitraje resuelve la siguiente ecuación (recuerde que los tipos se fijan en cero en nuestro ejemplo de juguete):

$$110*p^{\mathbb{Q}}+95(1-p^{\mathbb{Q}})=100$$

Lo que da $p^{\mathbb{Q}}=\frac{1}{3}$ .

En $\mathbb{Q}$ la deriva es ahora cero ( $\frac{1}{3}*110 + \frac{2}{3}*95=100$ ): así que hemos cambiado la deriva, pero no hemos cambiado la volatilidad, lo que en efecto nos ha permitido conservar el árbol original que representa el comportamiento de $S$ .

PD: tarifas

Según el modelo de mercado del Libor (véase aquí ), los tipos a plazo deben ser martingalas bajo la medida T-forward: por lo que el proceso de los tipos bajo la medida T-forward debe ser siempre sin deriva (de lo contrario el proceso no describiría una martingala).

Answer 3

Extracto de mi respuesta sobre lo que mide el VIX (se pueden encontrar más detalles sobre la notación y las convenciones que estoy utilizando en las secciones anteriores de esa respuesta):

Sobre el cambio de medida

(Esta sección se basa en los apuntes de una conferencia no pública de Dylan Possamaï para un curso de finanzas matemáticas . Lo actualizaré con referencias precisas si se publican las notas de la conferencia. Por ahora, insertaré [RefN] donde se necesite una referencia precisa).

TODO: Actualizar esta parte para el tipo de interés no nulo.

Para simplificar, supondré que el tipo de interés es cero (en realidad no es difícil incorporar un tipo de interés constante $r$ .) Nos ocupamos de un solo valor, que es un proceso Itô de la forma $$S_t=S_0+\int_0^tb_s\,\mathrm ds+\int_0^t\mathfrak S_s\,\mathrm dW_s.$$

Si no hay arbitraje [RefN], siempre existe un $\mathbb F$ -proceso estocástico predecible $\lambda$ tal que

$$ \mathfrak S_s(\omega)\lambda_s(\omega)=b_s(\omega) $$

para $\mathrm dt\otimes\mathsf P$ -casi todos $(s,\omega)\in[0,T]\times\Omega$ .

Supondremos que

$$ Z_t\overset{\text{Def.}}=\exp\left(-\int_0^t\lambda_s\,\mathrm dW_s-\frac12\int_0^t\lambda_s^2\,\mathrm ds\right), \quad t\in[0,T] $$

está bien definido y un $(\mathbb F,\mathsf P)$ -martingale. De hecho, si $Z_t$ está bien definido y un $(\mathbb F,\mathsf P)$ -martingale, entonces se deduce que no hay arbitraje en el mercado (hasta el tiempo $T$ ).

En este caso, podemos demostrar que la medida $\mathsf Q$ dado por $\frac{\mathrm d\mathsf Q}{\mathrm d\mathsf P}=Z_T$ es una medida de martingala equivalente (local) para el mercado financiero hasta el horizonte temporal $T$ :

Por el Teorema de Girsanov [RefN], el proceso estocástico $(W^{\mathsf Q}_t)_{t\in[0,T]}$ dado por

$$ W_t^{\mathsf Q}=W_t+\int_0^t\lambda_s\,\mathrm ds $$

es un $(\mathbb F,\mathsf Q)$ -Movimiento browniano (hasta el tiempo $T$ ).

Por lo tanto, para cualquier proceso estocástico progresivamente medible $\mathfrak S=(\mathfrak S)_{s\in[0,T]}$ con $\mathsf E^{\mathsf P}\left(\int_0^T\mathfrak S_s^2\,\mathrm ds\right)<\infty$ y $t\in[0,T]$ tenemos

$$ \int_0^t \mathfrak S_s\,\mathrm dW_s=\int_0^t \mathfrak S_s\,\mathrm d\left(W_s^{\mathsf Q}-\int_0^s\lambda_\tau\,\mathrm d\tau\right)=\int_0^t\mathfrak S_s\,\mathrm dW_s^{\mathsf Q}-\int_0^t\mathfrak S_s\lambda_s\,\mathrm ds, $$

donde la asociatividad de la integral estocástica [RefN] se utilizó en la última igualdad.

Por lo tanto, si el proceso de precios $(S_t)_{t\in [0,T]}$ es un proceso Itô

$$ S_t = S_0+\int_0^tb_s\,\mathrm ds+\int_0^t\mathfrak S_s\,\mathrm dW_s, $$

entonces

$$ S_t=S_0+\int_0^t\mathfrak S_s\,\mathrm dW_s^{\mathsf Q}-\int_0^t\mathfrak S_s\lambda_s\,\mathrm ds+\int_0^tb_s\,\mathrm ds=S_0+\int_0^t\mathfrak S_s\,\mathrm dW_s^{\mathsf Q}. $$

Además, por la regularidad asumida en $\mathfrak S_s$ la integral estocástica $\int_0^t\mathfrak S_s\,\mathrm dW_s^{\mathsf Q}$ es un $(\mathbb F,\mathsf Q)$ -martingale [RefN] [véase también la nota 6 de mi respuesta VIX]. Esto demuestra dos cosas:

1. $\mathsf Q$ es una medida de martingala equivalente para el mercado compuesto únicamente por el valor con proceso de precios $S$ .
2. El término de volatilidad de $S_t$ no cambia cuando pasamos de $\mathsf P$ a $\mathsf Q$ . Sin embargo, la deriva desaparece para que $S$ es ahora una martingala.