Extracto de mi respuesta sobre lo que mide el VIX (se pueden encontrar más detalles sobre la notación y las convenciones que estoy utilizando en las secciones anteriores de esa respuesta):
Sobre el cambio de medida
(Esta sección se basa en los apuntes de una conferencia no pública de Dylan Possamaï para un curso de finanzas matemáticas . Lo actualizaré con referencias precisas si se publican las notas de la conferencia. Por ahora, insertaré [RefN] donde se necesite una referencia precisa).
TODO: Actualizar esta parte para el tipo de interés no nulo.
Para simplificar, supondré que el tipo de interés es cero (en realidad no es difícil incorporar un tipo de interés constante $r$ .) Nos ocupamos de un solo valor, que es un proceso Itô de la forma $$S_t=S_0+\int_0^tb_s\,\mathrm ds+\int_0^t\mathfrak S_s\,\mathrm dW_s.$$
Si no hay arbitraje [RefN], siempre existe un $\mathbb F$ -proceso estocástico predecible $\lambda$ tal que
$$ \mathfrak S_s(\omega)\lambda_s(\omega)=b_s(\omega) $$
para $\mathrm dt\otimes\mathsf P$ -casi todos $(s,\omega)\in[0,T]\times\Omega$ .
Supondremos que
$$ Z_t\overset{\text{Def.}}=\exp\left(-\int_0^t\lambda_s\,\mathrm dW_s-\frac12\int_0^t\lambda_s^2\,\mathrm ds\right), \quad t\in[0,T] $$
está bien definido y un $(\mathbb F,\mathsf P)$ -martingale. De hecho, si $Z_t$ está bien definido y un $(\mathbb F,\mathsf P)$ -martingale, entonces se deduce que no hay arbitraje en el mercado (hasta el tiempo $T$ ).
En este caso, podemos demostrar que la medida $\mathsf Q$ dado por $\frac{\mathrm d\mathsf Q}{\mathrm d\mathsf P}=Z_T$ es una medida de martingala equivalente (local) para el mercado financiero hasta el horizonte temporal $T$ :
Por el Teorema de Girsanov [RefN], el proceso estocástico $(W^{\mathsf Q}_t)_{t\in[0,T]}$ dado por
$$ W_t^{\mathsf Q}=W_t+\int_0^t\lambda_s\,\mathrm ds $$
es un $(\mathbb F,\mathsf Q)$ -Movimiento browniano (hasta el tiempo $T$ ).
Por lo tanto, para cualquier proceso estocástico progresivamente medible $\mathfrak S=(\mathfrak S)_{s\in[0,T]}$ con $\mathsf E^{\mathsf P}\left(\int_0^T\mathfrak S_s^2\,\mathrm ds\right)<\infty$ y $t\in[0,T]$ tenemos
$$ \int_0^t \mathfrak S_s\,\mathrm dW_s=\int_0^t \mathfrak S_s\,\mathrm d\left(W_s^{\mathsf Q}-\int_0^s\lambda_\tau\,\mathrm d\tau\right)=\int_0^t\mathfrak S_s\,\mathrm dW_s^{\mathsf Q}-\int_0^t\mathfrak S_s\lambda_s\,\mathrm ds, $$
donde la asociatividad de la integral estocástica [RefN] se utilizó en la última igualdad.
Por lo tanto, si el proceso de precios $(S_t)_{t\in [0,T]}$ es un proceso Itô
$$ S_t = S_0+\int_0^tb_s\,\mathrm ds+\int_0^t\mathfrak S_s\,\mathrm dW_s, $$
entonces
$$ S_t=S_0+\int_0^t\mathfrak S_s\,\mathrm dW_s^{\mathsf Q}-\int_0^t\mathfrak S_s\lambda_s\,\mathrm ds+\int_0^tb_s\,\mathrm ds=S_0+\int_0^t\mathfrak S_s\,\mathrm dW_s^{\mathsf Q}. $$
Además, por la regularidad asumida en $\mathfrak S_s$ la integral estocástica $\int_0^t\mathfrak S_s\,\mathrm dW_s^{\mathsf Q}$ es un $(\mathbb F,\mathsf Q)$ -martingale [RefN] [véase también la nota 6 de mi respuesta VIX]. Esto demuestra dos cosas:
- $\mathsf Q$ es una medida de martingala equivalente para el mercado compuesto únicamente por el valor con proceso de precios $S$ .
- El término de volatilidad de $S_t$ no cambia cuando pasamos de $\mathsf P$ a $\mathsf Q$ . Sin embargo, la deriva desaparece para que $S$ es ahora una martingala.