¿Es un equilibrio de Nash algo más de lo que es?

Question

(Perdón por el título confuso, no se me ocurrió algo más informativo. Siéntase libre de sugerir mejoras)

Esta pregunta es una especie de generalización de "Osborne, los equilibrios de Nash y la corrección de las creencias" . Consideremos el juego de forma normal

$G = \langle P, S, U \rangle$ con

$P = \{1,\dots, m\}$ el conjunto de jugadores,

$S =\{S_1,\dots,S_m\}$ el $m$ -tupla de estrategias puras para los jugadores en $P$

$U = \{u_1,\dots,u_m\}$ el $m$ -tupla de funciones de pago para los jugadores en $P$

La estructura $G$ es lo suficientemente rica como para definir la noción de equilibrio de Nash (NE).

Sin embargo, los autores a veces describen la EN basándose en modelos más ricos. Por ejemplo, la descripción de Osborne comentada en "Osborne, los equilibrios de Nash y la corrección de las creencias" depende de una estructura

$\hat{G} = \langle P, S, B, U \rangle$ con

$P = \{1,\dots, m\}$ el conjunto de jugadores,

$S =\{S_1,\dots,S_m\}$ el $m$ -tupla de estrategias puras para los jugadores en $P$

$B = \{B_1,\dots,B_m\}$ el $m$ -tupla de posibles creencias sobre las acciones de los demás para los jugadores en $P$

$U = \{u_1,\dots,u_m\}$ el $m$ -tupla de funciones de pago para los jugadores en $P$

En este contexto, una NE equivale a

Un perfil estratégico $s^*$ y un perfil de creencias $b^*$ en el que para todos $i\in P$

$$ u_i ( s^*_i ~|~ s_{-i} = b^*_{i}) \geq u_i ( s' ~|~ s_{-i} = b^*_{i}) \text{ for all } s' \in S_i$$ y $$b^*_i = s^*_{-i}$$

Basándose en esta equivalencia, Osborne describe una EN como una situación en la que

En primer lugar, cada jugador elige su acción según el modelo de elección racional, dadas sus creencias sobre las acciones de los demás jugadores. En segundo lugar, la creencia de cada jugador sobre las acciones de los demás es correcta.

Ahora bien, en otros escenarios, he visto justificaciones de la NE basadas en otras estructuras más ricas que $G$ . Por ejemplo, se podría tener un juego con información incompleta

$\tilde{G} = \langle P, \Theta, p , S, U \rangle$ con

$P = \{1,\dots, m\}$ el conjunto de jugadores,

$\Theta = \{\Theta_1,\dots,\Theta_m\}$ el $m$ -tupla de posibles tipos de jugadores en $P$

$p$ una distribución de probabilidad conjunta sobre los tipos

$S =\{S_1,\dots,S_m\}$ el $m$ -tupla de estrategias puras para los jugadores en $P$

$U = \{u_1,\dots,u_m\}$ el $m$ -tupla de funciones de pago para los jugadores en $P$

En $\tilde{G}$ a NE es equivalente a

Un equilibrio Bayesiano-Nash en el que los agentes conocen con seguridad los tipos de los demás, es decir $p$ es degenerado.

En este caso, se podría describir una EN como una situación en la que

Los jugadores conocen con seguridad el tipo del otro y juegan según un equilibrio Bayesiano-Nash

(Véase, por ejemplo, "Featherstone, C., & Niederle, M. (2008). Eficiencia ex ante en los mecanismos de elección de escuela: una investigación experimental")

Estos dos ejemplos me desconciertan. Uno parece recomendar ver la NE como una situación en la que creencias sobre las acciones son correctas, mientras que la otra sugiere que las NE se vean como situaciones en las que el agente tiene información perfecta sobre las preferencias de los demás .

Así que mi pregunta es :

• ¿Es alguno de estos dos argumentos mejor que el otro de forma significativa? ¿Es alguna de las dos generalizaciones de $G$ (a $\tilde{G}$ o $\hat{G}$ ) es más útil que la otra para entender las condiciones necesarias para que prevalezca una NE?

Mi impresión es que el concepto de NE se mantiene por sí solo, independientemente de estas generalizaciones y que no hay una forma "correcta" de enriquecer el marco de la NE. Tal y como yo lo entiendo, "una EN es una situación en la que los agentes son racionales y las creencias son correctas" no es más o menos cierta que "una EN es una situación en la que los agentes tienen información perfecta sobre los pagos de los demás". Pero como veo que estas afirmaciones, en cierto modo contradictorias, aparecen una y otra vez, me preocupa que pueda estar pasando algo por alto.

Answer 1

La definición convencional de equilibrio de Nash bayesiano (BNE) es la siguiente:

Una estrategia pura BNE es un perfil de estrategias de tipo contingente $$(s_i(\theta_i),s_{-i}(\theta_{-i}))=(s_1(\theta_1),\dots,s_{i-1}(\theta_{i-1}),s_i(\theta_i),s_{i+1}(\theta_{i+1}),\dots,s_m(\theta_m))$$ tal que para cada $i\in P$ , $$ s_i(\theta_i)\in\arg\max_{s_i'\in S_i} \sum_{\theta_{-i}}p(\theta_{-i}\mid \theta_i) u_i(s_i'(\theta_i),s_{-i}(\theta_{-i}),(\theta_i,\theta_{-i})). $$

Si queremos definir el BNE con el lenguaje de las creencias sobre las acciones del otro jugador, podemos proponer la siguiente definición:

Una estrategia pura BNE es un perfil de estrategias de tipo contingente $(s_i(\theta_i),s_{-i}(\theta_{-i}))$ y un perfil de creencias $b^*=\{b_i(\theta_{-i})\}_{i\in P}$ , donde $b_i(\cdot)$ es una distribución sobre $S_{-i}(\cdot)$ con la condición de $\theta_{-i}$ , de manera que que

1. $s_i(\theta_i)$ maximiza $i$ (expectativa sobre $\theta_{-i}$ ) dado $b_i(\cdot)$ y una previa sobre los tipos; y
2. $b_i(\cdot)=s_{-i}(\cdot)$ es decir, las creencias en $b^*$ son correctos.

Así, si la distribución de tipos es degenerada, las definiciones de BNE y NE coinciden. No obstante, la corrección de las creencias (sobre las estrategias de los oponentes) está presente en ambas definiciones. La diferencia es que en BNE, las creencias de los jugadores son sobre un conjunto de funciones (debido a que en los juegos bayesianos las estrategias son de tipo contingente).