Osborne, los equilibrios de Nash y la corrección de las creencias

Question

En Osborne's Introducción a la teoría de los juegos El equilibrio de Nash se describe como sigue (p. 21-22):

En primer lugar, cada jugador elige su acción según el modelo de elección racional, dadas sus creencias sobre las acciones de los demás jugadores. En segundo lugar, la creencia de cada jugador sobre las acciones de los demás jugadores es correcta.

Me parece que esta definición no es completamente equivalente a la definición habitual del equilibrio de Nash como un perfil de estrategia en el que la estrategia de cada jugador es la mejor respuesta a las estrategias de los demás.

La definición habitual no dice nada sobre las creencias y, por tanto, permite la posibilidad de que éstas sean incorrectas.

Para tomar una posibilidad trivial, considere el Dilema del Prisionero. Supongamos que cada jugador cree que el otro no confesará. Dado que confesar es una estrategia dominante, cada jugador confesaría igualmente. Por tanto, las acciones constituyen un equilibrio de Nash aunque las creencias de los jugadores sean completamente opuestas a las acciones reales de equilibrio.

¿Estoy en lo cierto al entender que la definición de Osborne caracteriza algo distinto al equilibrio de Nash?

Answer 1

Introducir el lenguaje de las creencias aquí es un poco extraño, dado que las creencias tienen un significado muy específico en otras partes de la teoría de juegos.

De hecho, la descripción de Osborne recuerda a un equilibrio de Bayes Nash. Podríamos introducir la noción de creencias en la forma normal de un juego de información completa de la siguiente manera: supongamos que con probabilidad $a_i$ cada jugador, $i$ , es un "estratégico" tipo que jugarán según el equilibrio (Nash), y con probabilidad $1-a_i$ seleccionará alguna estrategia uniformemente al azar (porque, digamos, es indiferente entre todas las acciones). Así, tenemos un juego bayesiano en el que pensar en las creencias es más natural.

El concepto de solución de Bayes Nash dice entonces que $i$ debe ser óptima teniendo en cuenta el juego esperado inducido por las estrategias de los demás jugadores y las creencias sobre sus tipos implicadas por $\{a_j\}_{j\neq i}$ . Si miramos el límite como $a_i\rightarrow 1$ para todos $i$ entonces el equilibrio de Bayes Nash de este juego coincidirá con el concepto de solución descrito por Osborne.

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Supongo que la razón por la que Osborne lo escribió así es pedagógica, dado que se trata de un texto introductorio. Cuando introducimos a los estudiantes en los juegos estáticos, les decimos que el jugador $i$ responde mejor a las acciones de los otros jugadores. Los alumnos quieren saber, naturalmente, "¿cómo pueden responder a una estrategia elegida simultáneamente sin saber cuál será esa estrategia?" Esta es, en muchos sentidos, una pregunta filosófica. Las respuestas más comunes son

• Si se trata de un juego que se juega a menudo, entonces (dejando de lado cuestiones de otros resultados que se pueden mantener en juegos repetidos) podemos pensar de Nash como un equilibrio en el sentido de que si convergemos podemos desarrollar una norma por la que la gente continúe jugando a ese indefinidamente (y esperar que otros hagan lo mismo).
• Si el juego es realmente de una sola jugada, solemos invocar la idea de que los jugadores van a intentar predecir lo que harán los demás, y nuestra noción de equilibrio incorpora la idea de que estas predicciones deben ser correctas.

Parece que las predicciones del segundo punto corresponden a las "creencias" invocadas por Osborne. Sin embargo, es importante subrayar que estas predicciones/"creencias", son simplemente una herramienta informal/intuitiva para ayudarnos a conceptualizar lo que ocurre en un equilibrio y no forman parte de la definición de dicho equilibrio. El propio concepto de equilibrio de Nash es completamente agnóstico en cuanto a la noción de creencias (como usted señala en un comentario, se define sólo sobre las acciones), por lo que, cuando Osborne pasa a formalmente definir el equilibrio de Nash, lo hace sin invocar la idea de las creencias en absoluto.

Answer 2

La introducción de la creencia hace que el concepto de NE sea comparable a otros conceptos de refinamiento como el PBE y el equilibrio secuencial, pero el significado de NE no cambia.

El libro de texto de microgrado de Mas-Colell, Whinston y Green (MWG) tiene un resultado para esto

Proposición 9.C.1. Un perfil estratégico $\sigma$ es un equilibrio de Nash de un juego de forma extensiva $\Gamma_E$ si y sólo si existe existe un sistema de creencias $\mu$ tal que

1. El perfil de la estrategia $\sigma$ es secuencialmente racional dado el sistema de creencias $\mu$ en todos los conjuntos de información $H$ tal que $\Pr(H|\sigma)>0$ .
2. El sistema de creencias $\mu$ se deriva del perfil de la estrategia $\sigma$ mediante la regla de Bayes siempre que sea posible.

Por lo tanto, el ejemplo del dilema del prisionero que usted da, en el que los jugadores tienen creencias opuestas a la estrategia real del adversario, no cumple la segunda condición, que requiere que las creencias se deriven de la regla de Bayes siempre que sea posible. De hecho, esto es el equivalente matemático del segundo requisito de la definición de Osborne: que la creencia de un jugador sobre las acciones de los demás sea correcta.

Answer 3

Puede que esté repitiendo cosas que ya se han dicho antes, pero ésta es mi opinión al respecto.

Creo que nos enfrentamos a un problema habitual cuando se comparan dos modelos diferentes. Lo que significa una "equivalencia" no es completamente obvio porque las dos definiciones se encuentran en mundos diferentes, o en modelos diferentes. Sin embargo, si se define adecuadamente la "equivalencia", creo que se puede dar sentido a la definición de Osborne y demostrar que, efectivamente, es "equivalente" a una NE.

El concepto de solución que subyace en el apartado citado sería algo así como lo siguiente :

Equilibrio de creencias (BE) : > Un perfil de estrategia $s^*$ y un perfil de creencias $b^*$ en el que para todo jugador $i$

$$ u_i ( s^*_i ~|~ s_{-i} = b^*_{i}) \geq u_i ( s' ~|~ s_{-i} = b^*_{i}) \text{ for all } s' \in S_i$$ y $$b^*_i = s^*_{-i}$$

Ahora bien, el problema si queremos llegar a cualquier enunciado de "equivalencia" es que, por un lado, tenemos la BE que "vive" en un mundo con... creencias, y por otro la noción NE que vive en un mundo... exento de creencias. Entonces, ¿qué haría un enunciado de equivalencia como "NE $\Leftrightarrow$ ¿Ser" puede significar?

1) SER $\Rightarrow$ NE

Esta dirección de la implicación es probablemente incontrovertible, porque pasamos de un modelo más complejo a uno más simple. "Toda BE es una NE" debería significar que si miramos el equilibrio estrategia perfil de una BE sola (es decir, sin su perfil de creencias de apoyo $p$ ), debería ser una NE. Se puede comprobar que es así.

2) NE $\Rightarrow$ BE

Esta es la parte complicada. ¿Qué significa que "todo NE es un BE"? Desde luego, no que "una NE más cualquier perfil de creencias es una BE", como demostró el OP con su contraejemplo. Sin embargo, se da el caso de que "cualquier NE puede convertirse en una BE para algunos perfil de creencias ". Creo que es en este sentido que se debe entender la afirmación de "equivalencia" de Osborne

Obsérvese que también tenemos la siguiente afirmación más "parecida a la equivalencia": "Un resultado del juego es un resultado NE si y sólo si es un resultado BE".

Answer 4

Tu ejemplo del dilema del prisionero sólo funciona porque es un juego con estrategias dominantes. Osborne tiene razón.

Para responder mejor a la estrategia de otro jugador, como en la definición que das, debo conocer su estrategia. En otras palabras, debo tener creencias sobre lo que están haciendo, y esas creencias deben ser correctas. Esto es un refuerzo del concepto de racionalizabilidad.

Has hecho un comentario interesante sobre cómo se pueden obtener "equilibrios" extraños en juegos con estrategias dominantes. Esto equivale a un resultado equivalente $(\sigma,\mu_1)$ y $(\sigma,\mu_2)$ donde $\mu_2$ puede ser errónea y dar un peso positivo a las estrategias no racionalizables. Pero, nunca he visto un equilibrio de Nash que incluya creencias. Las definiciones que recuerdo son: "un perfil de estrategia $\sigma\in \Sigma$ es un equilibrio de Nash si $\sigma_i\in B_i(\sigma_{-i})$ ..." Creo que esto significa que la definición de las creencias es innecesaria, porque las creencias son exactamente una evaluación correcta del perfil de la estrategia. Refiriéndose a uno de mis libros, da la definición habitual con una cita de Nash (1950), y luego pasa a discutir dos supuestos subyacentes. Uno es el de las creencias correctas y el otro es el del juego racional dado esas creencias correctas.