¿Alguien puede explicar gráficamente por qué la MRS es invariante bajo transformaciones monótonas?

Question

Sea $U(x,y)$ una función de utilidad. Supongamos que tengo una curva de indiferencia para la cual $U(x,y) = \bar{U}$. Entonces $dU = 0$ a lo largo de la curva y puedo reorganizar para encontrar la TMS.

Supongamos que tengo una transformación monótona de mi función de utilidad. Es decir, alguna función $$W(x,y) = f(U(x,y))$$ con $$f'(\cdot) > 0$$

Dado que también es una curva de indiferencia, $dW = 0$ y puedo reorganizarlo de la siguiente manera

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{W_x}{W_y} = -\frac{f'(U(x,y))U_x}{f'(U(x,y))U_y} =-\frac{U_x}{U_y}$$ Así, observamos que la TMS es invariante bajo transformación monótona.

Mi Pregunta:

¿Puede alguien explicar qué significa esto gráficamente? No entiendo por qué la pendiente permanece la misma. ¿Por qué la TMS permanece igual pero la UM cambia?

Answer 1

Tienes razón en que es un poco contraintuitivo que la forma de las curvas de indiferencia no debería cambiar cuando transformas la función de utilidad. La razón es que estás transformando a lo largo de un eje que es perpendicular al plano donde vive la curva de indiferencia.

Imaginemos que tenemos dos bienes, x e y, y digamos que la función de utilidad original es $U(x,y)=x^\frac{1}{3}y^\frac{2}{3}$. Podemos crear un gráfico 3D de la función de utilidad donde $z = U(x,y)$. Cualquier transformación $f(z)$ funcionará en la dimensión z. En el siguiente ejemplo, la transformación $f(\cdot)$ está multiplicando la función de utilidad por un escalar positivo

Si miras desde arriba el plano $x-y$, notarás que puedes trazar una curva de indiferencia a través de un punto en ese plano y se verá idéntica antes y después de la transformación. Ten en cuenta que no será la misma curva de indiferencia porque el nivel de utilidad cambiará bajo la transformación. Volviendo al ejemplo de multiplicación, veamos la curva de indiferencia (línea roja) que pasa por el paquete $(x,y) = (10,10)$ (punto rojo). Independientemente del multiplicador, la curva de indiferencia mantiene su forma pero el nivel de utilidad asociado aumenta de 10 a 20.

También he incluido otras curvas de nivel, para niveles de utilidad 4, 8, 12, ... 40. Ten en cuenta que a medida que el factor con el que multiplicamos la función de utilidad original se hace más grande, estas curvas de nivel se comprimen en la esquina inferior izquierda.

Puedes ver lo mismo sucediendo con otras transformaciones monótonas, por ejemplo, la traslación (sumar una constante) y la transformación de potencia.

Answer 2

Las preferencias son primitivas. La MRS está definida únicamente en términos de las preferencias primitivas:

Si renuncio a 1 manzana (bueno en el eje horizontal), entonces MRS es la cantidad de plátanos (bueno en el eje vertical) que se me deben dar para que permanezca indiferente.

Claramente, si las preferencias no cambian de ninguna manera, entonces tampoco debería hacerlo la MRS.

Las funciones/representaciones de utilidad son simplemente una herramienta (muy) conveniente para ayudarnos a estudiar estas preferencias. Bajo ciertas condiciones técnicas, también podemos hablar de utilidad marginal. Pero, siempre hay que recordar que estas son simplemente herramientas para ayudarnos a estudiar preferencias.

Por lo tanto, las funciones de utilidad pueden transformarse de forma monótona. Pero dichas transformaciones monótonas no harán absolutamente nada a las preferencias. Y por supuesto, la MRS no cambiará tampoco. Pero las funciones de utilidad (y la UM) sí lo harán.

Answer 3

Gráficamente: tienes que tener en mente un gráfico 3D. En la base (x, y) y para $z$ el nivel de tu utilidad. La MRS debe ser leída en el espacio $(x, y)$: para un mismo nivel de utilidad (z es constante), ¿cuál es el equilibrio entre los bienes 1 y 2? Ahora, cuando haces este tipo de transformación, simplemente ajustas el nivel de la utilidad (el valor de z). Por cierto, $f'<0$ también está bien. Espero que ayude a pesar de mi inglés.

Answer 4

Hay cuatro niveles de medición básicos en la teoría estadística:

• nominal (también conocido como "categórico")
• ordinal
• intervalo
• de razón

(Cabe destacar que a veces el intervalo y la razón se denominan colectivamente como datos "cardinales".)

A veces se definen en función del tipo de transformaciones matemáticas permitidas en un conjunto de datos dado, sin cambiar las propiedades relevantes (distingibilidad, orden y magnitud relativa/absoluta.)

Los datos ordinales permiten cualquier transformación monótona de los datos — también llamadas transformaciones "preservadoras de orden". Si la utilidad se considera del tipo ordinal (lo cual es típico, aunque no siempre, ni históricamente), entonces tales transformaciones están permitidas y no afectarán los resultados de ningún cálculo permitido en los datos. Esto no es único para la utilidad; cualquier dato ordinal permitirá tales transformaciones.