Estrategia óptima en el juego de 3 dados

Question

En una reciente entrevista recibí la siguiente pregunta (un juego de optimización/estrategia)... que me dejó un poco perplejo. Las reglas del juego, empiezas con 0 puntos, entonces:

• Tira tres dados justos de seis caras;

  Ahora tienes la opción:

• Pégate, es decir, acepta los valores mostrados en tus dados como la puntuación de tu turno. Hay una advertencia, si dos o más dados muestran los mismos valores, entonces todos ellos se voltean al revés - por ejemplo, 1 se convierte en 6

O

• volver a tirar los dados. Puedes elegir mantener cualquier combinación de los dados en el valor actual mostrado (así que puedes elegir mantener 1 dado igual y luego volver a tirar los otros dos). Volver a tirar los dados te cuesta 1 punto, por lo que durante durante el juego y quizás incluso al final, su puntuación puede ser negativa.

Puedes tirar un número infinito de veces...

Mis pensamientos:

• Así que claramente la mejor puntuación posible es 18 y se consigue se consigue sacando tres 1 en la primera tirada
• La penalización a la repetición de la tirada evita que se ruede eternamente para obtener 18.
• Si el valor de los dados es mayor que el valor esperado de volver a lanzarlos (teniendo en cuenta la penalización), entonces deberías pegar...

Supongo que lo que estoy preguntando es cómo calcular el valor esperado de volver a lanzarlos (teniendo en cuenta la penalización) y cómo encaja esto en la estrategia óptima...

Gracias por toda la ayuda de antemano.

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Answer 1

Estoy de acuerdo en que esto se sale del tema, así que permítanme que intente remontarlo con una respuesta general.

Una solución común a los problemas financieros y probabilísticos es reducirlos para explorar casos más sencillos, de los que se pueden deducir patrones.

1. Considere sólo un dado

Si sólo tuvieras un dado el volteo es irrelevante. La solución es mantener tu puntuación siempre que sea mayor que la expectativa que es: (3,5 - tiradas + 1). Es decir, si sacas un 4 en la primera tirada: te lo quedas. Si sacas un 3 en la segunda tirada, te lo quedas.

2. Considera dos dados

Supongamos ahora que el dado sólo tiene dos caras {1,2}. Entonces tienes 4 resultados posibles:

• (1,1): puntuación 4 - no repetir la tirada.
• (1,2): puntuación de 3 - no repetir la tirada.
• (2,1): simétrico con lo anterior
• (2,2): puntuación de 2. Lo óptimo es volver a tirar sólo 1 dado: el 50% de la puntuación aumenta a 3, el 50% se queda en 2.

La expectativa de este juego es

¿Y si los dados tuvieran caras {1,2,3}?

• (1,1): puntuación de 6 - no repetir la tirada.
• (1,2): puntuación de 3 - volver a tirar el 2: el 33% de la puntuación aumenta a 5, el 33% se reduce a 2, el 33% se queda en 3, es decir, ganancia de expectativa de 0,333.
• (1,3): puntuación de 4 - no repetir la tirada.
• (2,1): simétrico con el anterior.
• (2,2): puntuación de 4 - no repetir la tirada.
• (2,3): puntuación de 5 - no repetir la tirada.
• (3,1): simétrico con el anterior.
• (3,2): simétrico con el anterior.
• (3,3): puntuación de 2 - volver a tirar 1 dado: 3% de aumento de la puntuación a 5, 33% se queda en 2, 33% aumenta a 3, es decir, ganancia de expectativa de 1,33

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Otra forma de enfocar el problema es pensar desde otra perspectiva. Supongamos que tu objetivo es alcanzar el máximo de 18 puntos, ¿cuántas tiradas se necesitarían de media?