Buenas preguntas de la entrevista de Quant-Finance

Question

Sé que existe el libro del difunto Mark Joshi y hay mucho contenido en internet. He pensado que podría ser beneficioso iniciar adicionalmente un hilo aquí en el que todos pudiéramos compartir las preguntas de entrevista más interesantes en finanzas cuánticas que hayamos encontrado (es decir, una pregunta de la wiki de la comunidad: cada respuesta debería incluir una pregunta de entrevista (idealmente con una respuesta): similar a "Buenos chistes de finanzas cuánticas").

Aunque pueda haber alguna duplicación con otros recursos, tal vez el beneficio añadido de este hilo sea:

1. El hilo reflejará las preguntas que están "actualmente" de moda

2. Podría añadir valor al sitio web quant.stackexchange como recurso para los Quants y los aspirantes a Quants

Feliz de recibir críticas constructivas, si otros no creen que sea una buena idea.

Answer 1

Aquí hay uno que me dieron hace mucho tiempo en una entrevista de quant:

Pregunta : Si $x = \{ x_1, x_2, \cdots, x_n \}$ son extracciones i.i.d. de una variable aleatoria $X \sim {\mathbb U}(0,1)$ , calcule

\begin{align} {\mathbb E}[ \; \max(x) - \min(x) \; ] \end{align}

Respuesta : Tengo dos soluciones divertidas para este problema, por CDF y por Integración:

1. CDF $\to$ PDF

Como la expectativa es un operador lineal, podemos reescribir la cantidad deseada como la suma de dos expectativas \begin{equation} \label{minMaxUniform} {\mathbb E}[ \; \max(x) \; ] - {\mathbb E}[ \; \min(x) \; ] \end{equation}

Desde $X \sim {\mathbb U}(0,1)$ es simétrico en torno a 0,5, estos deben estar relacionados por \begin{equation} {\mathbb E}[ \; \max(x) \; ] = 1 - {\mathbb E}[ \; \min(x) \; ] \end{equation} y podemos expresar la expectativa deseada en términos de una única cantidad \begin{equation} 2 \times {\mathbb E}[ \; \max(x) \; ] - 1 \end{equation}

Para calcular la expectativa del máximo de $n$ se basa en $X$ Consideremos $\max(x)$ como su propia variable aleatoria, y calcular su distribución de probabilidad, $P( \max(x) = k )$ para $0 \leq k \leq 1$ .

La probabilidad de que $P( \max(x) \leq k )$ es simplemente la probabilidad de que todos los sorteos $x_i$ son menores o iguales a k, $P( x_i \leq k \; \forall \; i \in n )$ - y como cada sorteo es independiente, podemos reexpresarlo como un producto de términos independientes \begin{align} P( \max(x) \leq k ) &= P( x_i \leq k \; \forall \; i \in n )\\ &= \prod_{i=1}^n P( x_i \leq k )\\ &= k^n \end{align}

$P( \max(x) \leq k )$ es la fdc de $\max(x)$ y podemos utilizar la conocida expresión para calcular su pdf \begin{align} P( \max(x) = k ) &= {\frac \partial {\partial k}} P( \max(x) \leq k )\\ &= n \cdot k^{n-1} \end{align}

Una vez calculado el pdf de $\max(x)$ podemos calcular su expectativa de la forma habitual \begin{align} {\mathbb E}[ \; \max(x) \; ] &= \int_{k=0}^{1} p( \max(x) = k ) \cdot k \cdot dk\\ &= \int_{0}^{1} n \cdot k^{n-1} \cdot k \cdot dk\\ &= \left[ {\frac n {n+1}} k^{n+1} \right]^1_0\\ &= {\frac n {n+1}} \end{align}

Poniendo todo esto junto, \begin{align} {\mathbb E}[ \; \max(x) - \min(x) \; ] &= {\mathbb E}[ \; \max(x) \; ] - {\mathbb E}[ \; \min(x) \; ]\\ &= 2 \times {\mathbb E}[ \; \max(x) \; ] - 1\\ &= {\frac {2n} {n+1}} - 1\\ &= {\frac {n-1} {n+1}} \end{align} que es la respuesta

2. Integración

Un método alternativo para calcular ${\mathbb E}[ \; \max(x) \; ]$ es integrar sobre cada $x_i$ . Por simetría, la probabilidad de cualquiera de $n$ variables $x_i$ siendo el máximo es ${\frac 1 n}$ por lo que integramos sobre la región en la $n$ -para el cual $x_1$ es el máximo y se multiplica por $n$ \begin{align} {\mathbb E}[ \; \max(x) \; ] &= \Bigl( \int_0^1 \Bigr)^{n} \max(x) \prod_{i=1}^n dx_i\\ &= n \cdot \int_{x_1=0}^1 x_1 \Bigl( \int_0^{x_1} \Bigr)^{n-1} \prod_{i=1}^n dx_i\\ &= n \cdot \int_{x_1=0}^1 x_1 \prod_{i=1}^n \Bigl( \left[ x_i \right]^{x_1}_0 \Bigr)^{n-1} dx_1\\ &= n \cdot \int_{x_1=0}^1 x_1^n \cdot dx_1\\ &= n \cdot \left[ {\frac 1 {n+1}} x_1^{n+1}\right]_0^1\\ &= {\frac n {n+1}} \end{align}

Y así, utilizando la lógica del último paso de la solución anterior,

\begin{align} {\mathbb E}[ \; \max(x) - \min(x) \; ] &= 2 \times {\mathbb E}[ \; \max(x) \; ] - 1\\ &= {\frac {2n} {n+1}} - 1\\ &= {\frac {n-1} {n+1}} \end{align}

Answer 2

Para empezar el hilo, permítanme compartir la pregunta más reciente de una entrevista que me han hecho:

Pregunta : Denotemos el movimiento browniano estándar como $W(t)$ . Calcula la probabilidad de que:

$$ \mathbb{P}(W(1)>0 \cap W(2)>0) $$

Respuesta : Utilizando la propiedad de independencia de los incrementos, tenemos $W(2) = W(2-1) + W(1)$ . Denote $W(2-1)$ como $Y$ y $W(1)$ como $X$ . Entonces:

$$ \mathbb{P}(W(1)>0 \cap W(2-1)+W(1)>0)=\mathbb{P}(X>0 \cap Y+X)>0)=\mathbb{P}(X>0 \cap Y>-X) $$

Por definición del movimiento browniano, los incrementos independientes se distribuyen conjuntamente de forma normal. Así que $X$ y $Y$ son conjuntamente normales con densidad $f_{X,Y}(u,v)$ . Podemos escribir:

$$\mathbb{P}(X>0 \cap Y>-X)=\int_{u=0}^{u=\infty}\int_{v=-u}^{v=\infty}f_{X,Y}(u,v)dv du$$

El último paso es dibujar el dominio de la integral doble: $X>0$ significa que estamos interesados en el lado derecho de la cartesiana $X,Y$ parcela. Entonces, con $Y>-X$ Esto recorta aún más el área por debajo de la línea $Y=(-X)$ en el lado derecho de la $X,Y$ parcela: es decir, cortamos el "fondo $1/4$ "de la mitad derecha. Así que nos queda $3/4$ de $1/2$ de la $X,Y$ dominio, que es $3/8$ . Dado que la PDF normal conjunta es un cono simétrico centrado en $x=0, y=0$ la integral doble es en realidad igual a $3/8$ por simetría.

Answer 3

Pregunta: Un contrato paga $$ P(T,T+\tau) - K$$ en $T$ , donde $K$ es fijo y $P(\cdot,S)$ es el precio de un $S$ -Visibilidad de los bonos de cupón cero (ZCB).

¿Qué es? $K$ para el que el tiempo del contrato $t$ ¿el precio es nulo?

Respuesta:

Precio de la réplica:

En el momento $t$ Vamos largo un $T+\tau$ -madurez ZCB y corto $ P(t,T)^{-1}P(t,T+\tau)$ $T$ -Madurez ZCB's.

Tiempo $t$ El coste de este puesto es $0$ como:

$$ (-1)\cdot P(t,T+\tau) + P(t,T)^{-1}P(t,T+\tau)\cdot P(t,T) = 0. $$

En el momento $T$ cuando el bono en corto vence, tenemos un flujo de $$ - P(t,T)^{-1}P(t,T+\tau). $$

Pero también esperamos $1$ flujo de dólares en $T+\tau$ cuyo precio en el momento $T$ es:

$$ P(T,T+\tau). $$

Por lo tanto, el $t$ precio del pago (en el momento $T$ )

$$ P(T,T+\tau) - P(t,T)^{-1}P(t,T+\tau) $$

es $0$ . Esto es, por supuesto, exactamente nuestro contrato con

$$ K = P(t,T)^{-1}P(t,T+\tau). $$

Precios bajo $T$ -Medida de avance:

$$V_t = P(t,T)\mathbf{E}^{T}_t[P(T,T+\tau) - K]$$

Configuración $V_t$ a $0$ implica:

$$K = \mathbf{E}^{T}_t[P(T,T+\tau)]$$

Como $P(t,T+\tau)$ es un activo negociado, bajo $T$ -medida anticipada, proceso $$ \left(P(t,T)^{-1} P(t,T+\tau)\right)_{t\geq 0}$$ es una martingala, lo que lleva a: $$\mathbf{E}^{T}_t[P(T,T)^{-1} P(T,T+\tau)] = P(t,T)^{-1} P(t,T+\tau).$$ Debido a $P(T,T)=1$ tenemos:

$$K = \mathbf{E}^{T}_t[P(T,T+\tau)] = P(t,T)^{-1}P(t,T+\tau)$$

Fijación de precios bajo la medida de cuentas del mercado monetario:

$$V_t = \beta_t\mathbf{E}_t[\beta_T^{-1} (P(T,T+\tau) - K)]$$

Configuración $V_t$ a $0$ implica:

$$K = \mathbf{E}_t[\beta_T^{-1}]^{-1}\mathbf{E}_t[\beta_T^{-1} P(T,T+\tau)]$$

$$ = P(t,T)\mathbf{E}_t\left[\beta_T^{-1} \mathbf{E}_T[\beta_T \beta_{T+\tau}^{-1} ] \right] $$

$$ = P(t,T)^{-1}\mathbf{E}_t\left[ \mathbf{E}_T[ \beta_{T+\tau}^{-1} ] \right] $$

$$ = P(t,T)^{-1}\mathbf{E}_t\left[ \beta_{T+\tau}^{-1} \right] $$

$$ = P(t,T)^{-1}P(t,T+\tau), $$

utilizando propiedad de la torre de expectativas condicionales en la penúltima igualdad.

( Nota: no es necesariamente una pregunta reciente, pero se espera que se pregunte - reprobé la parte de los precios de replicación que el entrevistador estaba obviamente enamorado; esto está cubierto por ambos El libro de Brigo/Mercurio en el contexto de la tarificación de la FRA, y por El libro de Andersen/Piterbarg ).

Answer 4

Antecedentes
Consideremos el modelo lineal afín de Gauss Markov (LGM) para los tipos de interés, caracterizado por una variable de estado de un solo factor $x_t$ con una dinámica normal... \begin{align} \text{d}x_t&=\sigma(t)\text{d}W_t \end{align} ... especificado en una medida bajo la cual el proceso de precios $N_t$ : \begin{align} N_t&:=\frac{1}{P(0,t)}e^{H(t)x_t+a(t)}, \end{align} es una opción válida numéraire , donde $P$ es el precio de un bono de cupón cero, mientras que $H(t)$ y $a(t)$ son dos funciones deterministas.

Pregunta
Determinar la estructura de la función $a(t)$ para garantizar que el modelo LGM esté libre de arbitraje.

Respuesta
Sabemos que un modelo está libre de arbitraje si y sólo si existe una medida de martingala equivalente (EMM), es decir, una medida de probabilidad tal que el precio de un activo negociado es igual a la expectativa condicional de sus flujos de caja descontados. El activo básico en cualquier modelo de tipos es el bono de cupón cero, que paga $\\\$ 1$ a su vencimiento. Por lo tanto, nuestro modelo LGM debe satisfacer: $$P(0,t)=E\left(\frac{1}{N_t}\right)$$ Según la definición de $N_t$ la condición equivalente es: $$E\left(e^{-H(t)x_t-a(t)}\right)=1\tag{1}$$ La variable de estado $x_t$ se distribuye normalmente, con media cero y varianza total hasta $t$ igual a: $$\Sigma(t):=\int_0^t\sigma^2(u)\text{d}u$$ Expectativa $(1)$ se puede calcular explícitamente, por ejemplo invocando la transformada de Laplace de una variable normal, y obtenemos: $$\boxed{a(t) = \frac{1}{2}H^2(t)\Sigma(t)}$$ Curiosamente, observamos que, en comparación con la parametrización de Hull-White, en la que el parámetro calibrado debe actualizarse cada vez que la curva cambie para seguir estando libre de arbitraje (por ejemplo, véase la especificación de la función $\theta(t)$ en esta respuesta ), el modelo LGM está libre de arbitraje por diseño siempre que fijemos la función $a(t)$ para que sea igual a la expresión anterior.