En el modelo ricardiano, ¿por qué dos de cada tres casos son inválidos?

Question

Estoy considerando el modelo ricardiano.

Hay una economía con dos países $S,T$ . Dos bienes $a,b$ . Cada país tiene una tecnología de producción lineal con mano de obra ( $\ell$ ) como único factor de producción. $$y_i^j=\alpha_i^j\ell$$ donde $i \in \lbrace a,b\rbrace$ y $j \in \lbrace S,T \rbrace$ .

$$\ell_S + \ell_T = 1$$

El problema de maximización de la empresa es

$$\max_{\lbrace \ell \rbrace} \pi^j_i = \alpha_i^j\ell p_i-w^j \ell$$

Hay 3 casos para este problema

Caso 1: $p_i^j \alpha_i^j <w^j$

$\ell = 0$

$y_i^j = 0$

Caso 2: $p_i^j \alpha_i^j > w^j$

$\ell = 1$

$y_i^j = \alpha_i^j$

Caso 3: $p_i^j \alpha_i^j = w^j$

$\ell \in [0,1]$

$y_i^j = [0,\alpha^j_i]$

Mi pregunta

Aparentemente, los casos 1 y 2 no son válidos. No estoy seguro de por qué. ¿Alguien puede explicarlo?

La lógica se supone que es

"si hay una especialización completa, entonces $\ell_S = 1, \ell_T = 0, y_T = 0$ o $L_S = 0, L_T = 1, y_S = 0$ por lo que los casos 1 y 2 fallan"

No entiendo en absoluto esta explicación y me gustaría una explicación mejor. ¿Qué significa "especializarse completamente"?

Answer 1

Especializarse completamente" significa que un país sólo produce uno de los dos bienes.

Dados los problemas de maximización de beneficios de sus empresas (parece que hay cuatro, una para cada bien en cada país) sus condiciones de optimalidad son $$p_i \cdot \alpha_i^j \leq w^j$$ con igualdad si $l_i^j > 0$ . A partir de esto, se puede deducir fácilmente qué combinaciones de parámetros de $p_i$ y $\alpha_i^j$ se producirá en condiciones en las que un país se especialice por completo.

No estoy seguro de lo que quieres decir con "fallar", y los índices en tu notación de la fuerza de trabajo parecen un poco fuera de lugar. Quizás mi discusión detallada del modelo ricardiano puede ser beneficioso. Tenga en cuenta que no es exactamente el mismo modelo que el suyo. Por ejemplo, los precios no vienen dados de forma exógena, sino que son el resultado de un equilibrio entre la oferta y la demanda.