¿Se utiliza la matriz de covarianza o de correlación en la descomposición de Cholesky para generar muestras correlacionadas?

Question

¿Podemos usar indistintamente la descomposición de Cholesky de la matriz de covarianza y la matriz de correlación para generar simulaciones? Si no es así, ¿en qué situaciones usamos uno u otro y por qué? Gracias de antemano.

Answer 1

Puedes usar cualquiera, ya que ambos son necesariamente simétricos definidos positivos; la covarianza es una preferencia personal. Realmente es solo una cuestión de escalado, ya que $\mathcal{N}(0,\Sigma)$ se distribuye como $\sqrt{\Sigma} \mathcal{N}(0,1) $.

La correlación requeriría escalado adicional (es decir, la multiplicación de cada elemento $\mathcal{N}(0,\rho)$ por su respectiva volatilidad, y por lo tanto requiere más operaciones).

Glasserman (p. 72-74) también utiliza la matriz de covarianza para su introducción a la factorización de Cholesky, por lo que sospecho que no es inusual, sin embargo también he visto correlación (por ejemplo en el caso de @Probilitator).

Answer 2

Creo que Cholesky en la matriz de correlación es mejor porque hace que el código se aplique de manera más general en caso de que no tengamos rango completo.

Por ejemplo, supongamos que queremos simular tres normales correlacionadas con una matriz de covarianza [[a^2,0,0], [0,b^2,0], [0,0,c^2]]

es decir, las variables no están correlacionadas y tienen volatilidades a, b y c. Debido a que esto es definido positivo, podemos hacer Cholesky sin problema, con resultado también [[a,0,0], [0,b,0], [0,0,c]]

Sin embargo, si obtenemos nuevos datos que nos dicen que b = c = 0, la descomposición de Cholesky fallará debido a que no es definida positiva. Por lo tanto, necesitaríamos modificar nuestro código para manejar este caso.

Si en cambio hubiéramos codificado en términos de una matriz [diagonal] S de volatilidades y una matriz de correlación K, haríamos Cholesky en K (para obtener la matriz A por ejemplo) y funcionaría bien incluso en casos de volatilidad cero. La matriz de covarianza estaría dada por (SA)^2.

La razón subyacente es que una matriz de correlación es definida positiva siempre que lo sea la matriz de covarianza, pero lo contrario no es cierto.