¿Se utiliza la matriz de covarianza o de correlación en la descomposición de Cholesky para generar muestras correlacionadas?

Question

¿Podemos intercambiar el uso de la descomposición de Cholesky de la matriz de covarianza y la matriz de correlación para generar simulaciones? Si no es así, ¿en qué situaciones utilizamos uno u otro y por qué? Gracias de antemano.

Answer 1

Puedes usar cualquiera, ya que ambos necesariamente son definidos positivos simétricos; la covarianza es una preferencia personal. Realmente es solo una cuestión de escala, ya que $\mathcal{N}(0,\Sigma)$ es distributivamente $\sqrt{\Sigma} \mathcal{N}(0,1)$.

La correlación requeriría escalado adicional (es decir, la multiplicación de cada elemento $\mathcal{N}(0,\rho)$ por su respectiva volatilidad, y por lo tanto requiere más operaciones).

Glasserman (p. 72-74) también utiliza la matriz de covarianza para su introducción a la factorización de Cholesky, así que sospecho que no es inusual, sin embargo también he visto correlación (por ejemplo, el ejemplo de @Probilitator).

Answer 2

Creo que Cholesky en una matriz de correlación es mejor porque hace que el código se aplique de manera más general en caso de que no tengamos rango completo.

Por ejemplo, supongamos que queremos simular tres normales correlacionadas con una matriz de covarianza [[a^2,0,0], [0,b^2,0], [0,0,c^2]]

es decir, variables no correlacionadas con volatilidades a, b y c. Debido a que eso es definido positivo, podemos hacer Cholesky sin problemas, con un resultado también [[a,0,0], [0,b,0], [0,0,c]]

Sin embargo, si recibimos nuevos datos indicándonos que b = c = 0, la descomposición de Cholesky fallará debido a la no definición positiva. Por lo tanto, necesitaríamos modificar nuestro código para manejar este caso.

Si, en cambio, hubiéramos hecho nuestra codificación en términos de una matriz [diagonal] S de volatilidades y una matriz de correlación K, realizaríamos Cholesky en K (para obtener una matriz A por ejemplo) y funcionaría correctamente incluso en casos de volatilidad cero. La matriz de covarianza es entonces (SA)^2.

La razón subyacente es que una matriz de correlación es definida positiva siempre que la matriz de covarianza lo sea, pero lo contrario no es cierto.