Opciones y Forwards de potencia en Stock Squared

Question

Historia corta El proceso para el precio de la acción al cuadrado no es una martingala cuando se descuenta por el numerario del mercado monetario bajo la medida de riesgo neutral. ¿Cómo podemos entonces calcular los precios de los derivados en $S_t^2$ bajo la medida de riesgo neutro? ¿No llevaría esto al arbitraje?

Una larga historia : He encontrado algunos posts muy buenos sobre opciones de energía, por ejemplo Encontrar el precio de la opción de potencia . Aunque las matemáticas están claras, todavía estoy algo confuso sobre el concepto: comenzando con una simple opción sobre el precio de la acción al cuadrado, no comprendo del todo cómo se puede fijar el precio de un reclamo opcional dentro del marco regular de B-S, cuando el proceso de precios para $S_t^2=S_0^2exp((2r-\sigma^2)t+2\sigma W_t)$ es no una martingala cuando se descuenta por $e^{rt}$ bajo el numerario del mercado monetario neutral al riesgo.

Considero un modelo de un solo período con tipos cero. Como se indica en el post ¿Qué es la medida de riesgo neutro? En el modelo de un período, la medida de neutralidad del riesgo surge de la ausencia de la hipótesis de arbitraje en el modelo. Suponemos que, inicialmente, el precio de las acciones es $S_0$ y después de un período puede ser $S_u=S_0*u$ o $S_d=S_0*d$ con $u$ y $d$ siendo algunos factores multiplicativos. Fijar el precio de un crédito derivado con función de pago $V(.)$ sobre la acción subyacente $S_t$ a través de la replicación da lugar a:

$$V_0 = \left(V(S_u) \left( \frac{1 -d}{u-d} \right) + V(S_d) \left(\frac{u-1}{u-d} \right) \right)$$

Imponente $u \leq 1 \leq d$ garantizará que no haya arbitraje en el modelo de un período. Además, como consecuencia de la condición $u \leq 1 \leq d$ , obtenemos que $0 \leq \frac{1 -d}{u-d} \leq 1$ y $0 \leq \frac{u-1}{u-d} \leq 1$ . Por lo tanto, podemos definir $p_u:=\frac{1 -d}{u-d}$ , $p_d:=\frac{u-1}{u-d}$ y podemos llamar a $p_u$ y $p_d$ "probabilidades": de hecho, en el modelo de un solo período, $p_u$ & $p_d$ forman la medida de probabilidad discreta (neutral al riesgo).

Ahora, el punto interesante es que el precio de la reclamación $V(.)$ en $S_t^2$ a través de la replicación en el modelo de un período en realidad conduce a una medida de probabilidad diferente :

(i) Estado superior: $S_{t_1}^2=S_0^2u^2$ , denotando el bono libre de riesgo como $B$ tenemos $B_{t_1}=B_{t_0}=1$ ya que los tipos son cero y el pago de la opción es $V_u=V((S_0u)^2)=[S_0^2u^2-K]^+$ .

(ii) Estado inferior: $S_{t_1}^2=S_0^2d^2$ , $B_{t_1}=B_{t_0}=1$ , $V_d=V((S_0d)^2)=[S_0^2d^2-K]^+$ .

Tratando de replicar la recompensa $V(S_{t_1}^2)$ en ambos estados a través de la acción subyacente y el bono sin riesgo, obtenemos dos ecuaciones con dos incógnitas (x = número de acciones, y = número de bonos que quiero tener para replicar el pago de la opción):

$$(i) V_u=x*S_0^2u^2+y*1$$

$$(ii) V_d=x*S_0^2d^2+y*1$$

Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:

$$ x=\frac{V_u-V_d}{S_0^2(u^2-d^2)}, y=\frac{u^2V_d-d^2V_u}{u^2-d^2}$$

Lo que da el precio de la demanda como (después de algunas simplificaciones algebraicas básicas):

$$V_0=x*S_0^2+y*1=V_u*\frac{1-d^2}{u^2-d^2}+V_d\frac{u^2-1}{u^2-d^2}$$

Configurar $p_u^*:=\frac{1-d^2}{u^2-d^2}$ y $p_d^*:=\frac{u^2-1}{u^2-d^2}$ lo anterior se puede reescribir como:

$$V_0=V_up_u^*+V_dp_d^*=\mathbb{E}^{Q_2}[V_{t_1}]$$

En otras palabras, el argumento de la replicación da lugar a una nueva medida de probabilidad en la que $p_u^*=\frac{1-d^2}{u^2-d^2}\neq p_u=\frac{1-d}{u-d}$ y $p_d^*=\frac{u^2-1}{u^2-d^2}\neq p_d=\frac{1-d}{u-d}$ .

En cambio, tenemos que $p_u^*=p_u \frac{1+d}{u+d}$ y $p_d^*=p_d \frac{1+u}{u+d}$ .

Pregunta : Así que volviendo al principio y considerando el hilo Encontrar el precio de la opción de potencia ¿cómo es que podemos valorar las opciones de potencia con la medida clásica de riesgo neutral de B-S? Eso equivaldría a decir que bajo el modelo de un periodo (con tipos cero), el precio de la demanda $V(S^2_t)$ podría calcularse como $V_0=\mathbb{E}^Q[V_t(S_t^2)]=p_uV_u(S_t^2) + p_dV_d(S_t^2)$ que no produce el resultado correcto (de hecho, arriba obtenemos que $V_0=\mathbb{E}^{Q_2}[V_t(S_t^2)]=p_u^*V_u(S_t^2) + p_d^*V_d(S_t^2)$ ).

Answer 1

Consideremos un mercado financiero con un espacio de probabilidad filtrado $\left(\Omega,\mathcal{F},(\mathcal{F}_t),\mathbb P\right)$ que satisfacen las condiciones habituales equipadas con un proceso de precios de las acciones $S_t$ . Supongamos que existe un activo sin riesgo que se rige por $\mathrm{d}B_t=r_tB_t\mathrm{d}t$ .

Supongamos que el mercado está libre de arbitraje, es decir, que existe una medida de probabilidad $\mathbb Q\sim\mathbb P$ tal que $$ \mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{S_{t}}{B_{t}}\Bigg|\mathcal{F}_s\right]=\frac{S_s}{B_s}$$ para $s\leq t$ .

Dejemos que $\xi$ sea un integrable y $\mathcal{F}_T$ -variable aleatoria medible que representa el tiempo- $T$ pago de alguna reclamación (contrato). Suele ser una función del precio final de las acciones $S_T$ . ¿Cuál es el tiempo justo (es decir, libre de arbitraje)? $t$ ¿el precio de una reclamación de este tipo? Estudiemos lo siguiente valor (o precio ) proceso $$V_t=B_t\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{\xi}{B_T}\bigg|\mathcal{F}_t\right].$$ Así que, intuitivamente, el precio justo de un contrato $\xi$ es igual a la retribución descontada esperada expresado en términos del numéraire ( $B_t$ ). Por supuesto, $V_T=\xi$ Por lo tanto $V_t$ replica el pago $\xi$ . Si los tipos de interés son deterministas, podemos sacar $B_T$ fuera de la expectativa.

El proceso de valor descontado, $\frac{V_t}{B_t}$ es un $\mathbb{Q}$ -martingale por construcción. Se deduce inmediatamente de la ley de la torre . Simplemente observamos que $$\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{V_t}{B_t}\bigg|\mathcal{F}_s\right]=\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{\xi}{B_T}\bigg|\mathcal{F}_t\right]\bigg|\mathcal{F}_s\right]=\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{\xi}{B_T}\bigg|\mathcal{F}_s\right]=\frac{V_s}{B_s}.$$ En general, si $X$ es una variable aleatoria integrable, entonces $M_t=\mathbb{E}[X|\mathcal{F}_t]$ es una martingala.

Ahora la trampa El mercado aumentado (con acciones, bonos y procesos de valor) consiste en activos cuyos valores descontados son martingalas. Por tanto, al utilizar el primer PAJT sabemos que el mercado permanece libre de arbitraje y $V_t$ es una forma de replicar $\xi$ sin crear una oportunidad de arbitraje.

Si existe una cobertura perfecta para $\xi$ (que se autofinancia), entonces $V_t$ tiene el mismo precio que esta cobertura perfecta para cada punto de tiempo $t\leq T$ (ley del precio único). Por lo tanto, el proceso de valor es, de hecho, independiente de la medida martingala equivalente (si existen varias) para los pagos replicables (esto, por cierto, apunta al segundo PAJT). De hecho, para cada medida martingala equivalente $\mathbb Q$ el mapa $\xi\mapsto B_t\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{\xi}{B_T}\bigg|\mathcal{F}_t\right]$ define un funcional de precios lineal.

Ejemplo : valorar un activo pagando $\xi=S_T^2$ bajo tipos de interés constantes y una dinámica de movimiento browniano geométrico (sin dividendos). La respuesta es simplemente $$V_t=B_t\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{\xi}{B_T}\bigg|\mathcal{F}_t\right]=S_t^2e^{(r+\sigma^2)(T-t)}.$$ Los detalles de este cálculo están en los comentarios. Esta fórmula tiene un sentido intuitivo: después de un cambio de numerario, $V_t$ es simplemente el valor esperado del precio de la acción bajo la medida de la acción bajo la cual el precio de la acción crece a la tasa de deriva $r+\sigma^2$ . Es importante destacar que este precio depende del modelo. Un modelo de pago a plazo $S_T$ es independiente del modelo (y se deduce de la definición de la medida martingala equivalente). Además, el precio de una demanda de energía que paga $S_T^2$ no es sólo delta uno sino que tiene exposición a la volatilidad.

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En un un período, ajuste binomial La acción se mueve de $S_0$ para $S_0u$ o $S_0d$ . Una cartera de cobertura invierte $\Delta$ en el stock y $M$ en el bono, es decir $\Pi_0=\Delta S_0+MB$ y $\Pi_T=\Delta S_T+M$ (en su notación, $x=\Delta$ y $y=M$ ). Intentas replicar un pago general $V$ . Entonces, resuelve \begin{align*} \begin{cases} V_u = S_u\Delta+M, \\ V_d = S_d\Delta+M. \end{cases} \end{align*} La resolución de este sistema conduce a un análogo discreto de una cobertura delta: \begin{align*} \Delta &= \frac{V_u-V_d}{S_u-S_d}, \\ M &= \frac{uV_u+dV_d}{u-d}. \end{align*} Así, $$ \Pi_0=\Delta S_0+MB=\frac{V_u-V_d}{S_u-S_d}S_0+\frac{uV_u+dV_d}{u-d}B=\frac{1-Bd}{u-d}V_u+\frac{Bu-1}{u-d}V_d.$$ Verás, las probabilidades son independientes de los pagos $V_u$ y $V_d$ . Ahora, sólo hay que poner $V_u=S_0^2u^2$ y $V_d=S_0^2d^2$ y ya está.