Encontrar el precio de la opción de energía

Question

Supongamos un mercado con $d=1$ y $X=X^1$ satisfactoria

$dX_t=\sigma X_t\,dW_t,\: \: X_0=1,$

donde $(W_t)$ es un estándar de movimiento Browniano. Suponga que $\mathbb{F}$ es la filtración natural de $X$ y $\mathcal{F}=\mathcal{F}_T$.

Me gustaría saber el precio de el contingente reclamo $H=X_T^2$.

Answer 1

El precio de las acciones en proceso $(X_t)$ es un movimiento Browniano geométrico con la deriva $\mu=0$. Por lo tanto, $$X_t=X_0\exp\left(-\frac{1}{2}\sigma^2+\sigma W_t\derecho).$$ Suponga que usted tiene constante de las tasas de interés $r_t\equiv r$ y están interesados en un estilo Europeo de reclamación, a continuación, utilizando los neutrales al riesgo de precios, el tiempo cero de los precios de una reclamación de pago de $H=X_T^2$es igual a $$ V_0 = e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}[X_T^2].$$

El tiempo $t$ precio simplemente leer como $V_t=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}^\mathbb{Q}[X_T^2\mid\mathcal{F}_t]$.

Así, usted necesita los momentos de $(X_T^2)$ bajo el riesgo-neutral de la medida $\mathbb{Q}$. Sin importar lo que significa $(X_t)$ ha en el mundo real, su deriva en el riesgo-neutral mundo es $r$, (potencialmente $r-q$ donde $p$ es (constante) rendimiento de los dividendos). Por lo tanto, en $\mathbb{Q}$, $$\ln(X_t) \desbordado{\mathrm{Ley}}{=} \ln(X_0)+\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\derecho)t+\sigma W_t.$$ Como se puede ver, $(X_t)$ es registro-normalmente distribuida. En general, si $\ln(Y)\sim N(m,s^2)$, entonces $\mathbb{E}[Y^k]=e^{km+\frac{1}{2}k^2s^2}$ para todo $k\geq1$, ver aquí. Por lo tanto, poner todo junto, y el uso que $\ln(X_0)=0$, se puede obtener el precio de su contrato de energía

\begin{align*} V_0 &= e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}[X_T^2] \\ &= \exp\left(-rT+2\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\derecho)T+2\sigma^2\derecho) \\ &= \exp\left(\left(r+\sigma^2\derecho)T\right). \end{align*}

Como cuestión de hecho, si $\gamma>0$, usted puede demostrar que $(X_t^\gamma)$ es de nuevo un movimiento Browniano geométrico usando el Lema de Ito. Además, consigue que el tiempo $t$ precio de un estilo Europeo reclamar el pago de $X_T^\gamma$ es dada por \begin{align*} V_t = (X_t)^\gamma\cdot\exp\left((\gamma-1)\left(r+\frac{1}{2}\gamma\sigma^2\right)(T-t)\derecho). \end{align*} En efecto, la fijación $t=0$, $X_0=1$ y $\gamma=2$ recupera la solución anterior.

Answer 2

Aplicando el lema de Ito en $X_t^2$, usted encontrará fácilmente el proceso $(X_t^2)$satisfactoria $$d(X_t^2) = 2X_tdX_t +\frac{1}{2} 2 <dX_t,dX_t> = X_t^2 ( \sigma^2 dt +2\sigma dW_t)$$

así que $(X_t^2)$ es un movimiento Browniano geométrico con la deriva $\mu = \sigma^2$ $$\frac{dX_t^2}{X_t^2} = \sigma^2 dt +2\sigma dW_t$$

podemos deducir que ( $i = 0$) $$V_0 = E^Q(X_T^2) = E^Q(x_0^2 e^{\sigma^2 T} e^{-\frac{1}{2}(2\sigma)^2 T+2\sigma W_T}) = x_0^2e^{\sigma^2 T} E^P(e^{-\frac{1}{2}(2\sigma)^2 T+2\sigma W_T}) = x_0^2e^{\sigma^2 T} = e^{\sigma^2 T} $$