¿Cómo derivar Balck Scholes del modelo binomial?

Question

El libro da la siguiente receta, pero no da más detalles:

1. Haga una expansión en serie de Taylor de $$V = V(S,t)$$
2. Haga una expansión en serie de Taylor de $$V^{+} = V(u \cdot S, t + dt) \hspace{5mm}:\hspace{5 mm} u = 1 + \sigma \cdot \sqrt{dt}$$
3. Haga una expansión en serie de Taylor de $$V^{-} = V(d \cdot S, t + dt) \hspace{5mm}:\hspace{5 mm} d = 1 - \sigma \cdot \sqrt{dt}$$
4. Mete las tres expansiones en: $$V = \frac{1}{k} \cdot \bigg(p' \cdot V^{+} + (1-p') \cdot V^{-}\bigg) \hspace{5mm}:\hspace{5 mm} k \text{ is some discounting factor, } p'=\frac{1}{2} + \frac{r \cdot \sqrt{dt}}{2 \cdot \sigma} \text{ (r -- risk free rate)}$$ .

Sin embargo, hay una serie de cosas que me impiden hacer la ampliación de Taylor:

1. Las tres ecuaciones dadas no tienen carne, es decir, no hay nada sobre lo que tomar una derivada.
2. Incluso si asumimos que $V()$ es el mismo en el que vamos a volver a enchufar nuestras expansiones no me queda claro dónde exactamente $S$ y $t$ las entradas van.
3. No está claro en torno a qué punto hacer la expansión de Taylor.

Answer 1

Comprueba Aproximación del CRR como PDE de Black Scholes . Muestro la derivación en mi post allí