Aproximación del CRR como PDE de Black Scholes

Question

Tengo una fórmula para el precio de la opción europea intermedia calculada en, digamos, el m-ésimo valor posible del árbol.

$S_n^{(m)}$ es un precio en el nodo después de subir $n$ tiempos y abajo $n - m$ veces $V(S_n^{(m)}, t + n\Delta t) = e^{-r \Delta t} [p V(u S_n^{(m)}, t + (n+1)\Delta t + (1 - p) V(u S_n^{(m)}, t + (n+1)\Delta t]$

$p = \frac{e^{(r - D) \Delta t} - d}{u - d}$ - probabilidad neutra de riesgo, $r$ - tasa libre de riesgo, $D $ rentabilidad continua de los dividendos

$u = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}$ , $d = e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}}$ , $\sigma$ es la volatilidad del precio de las acciones

Necesito averiguar mediante aproximaciones de taylor que bajo límite para $\Delta t -> 0$ esta fórmula se convierte en BS PDE.

---

Bien, en primer lugar, he utilizado la identidad $e^x = 1 + x$ y lo aplicó en todos los lugares posibles. Luego escribí la expansión de Taylor para ambas funciones del RHS pero en este punto mis resultados no coincidían realmente.

Cualquier valor superior e igual a $O(\Delta t^2)$ Hice igual a cero.

Así, por ejemplo, para el término $\frac{1}{2}\frac{d^2V}{dS^2}$ Terminé con lo siguiente:

... + $\frac{1}{2}\frac{d^2V}{dS^2}S^2(p(u - 1)^2 + (1-p)(d - 1)^2)*e^{-r\Delta t}$

Desgraciadamente después de sustituir todas las variables tras reescribirlas con la aproximación de taylor, la expresión resultante después de todas las cancelaciones no se convirtió en la $\frac{1}{2}\frac{d^2V}{dS^2}S^2\sigma^2$

Escribí la expansión de taylor centrada en $(S_n^{(m)}, t + \Delta t)$ respectivamente.

¿Podría alguien indicarme dónde he cometido el error? No me molesté en continuar con otras partes de la fórmula debido principalmente a que me equivoqué en la primera...

Answer 1

Suponiendo rendimientos continuamente compuestos para un modelo multiperiodo con $N$ siendo el número de períodos:

\begin{cases} &\log u \quad \text{with probability q}\\ &\log d \quad \text{with probability 1-q} \end{cases} dado el precio de las acciones al vencimiento $$\log\left(\frac{S_T}{S_0}\right)=i\log u+(N−i)\log d=i\log\left(\frac{u}{d}\right)+N\log d$$ donde $i$ es una v.r. binomial bajo la medida de riesgo neutral $\mathbb Q$ . $$\lim_{N\rightarrow\infty}\log\left(\frac{S_T}{S_0}\right)\sim\mathcal{N}(\mu T,\sigma^2T)$$ con \begin{align} \mu T=&\mathbb{E}[i]\log(u/d) +N\log d \\ \sigma^2T=&\text{Var}[i][\log(u/d)]^2 \end{align} Por CLT, la distribución de la suma de los rendimientos continuamente compuestos converge a una distribución normal. Dado que, por la hipótesis $u=1/d$ tenemos las ecuaciones: $$u=e^{\sqrt{\Delta t}}, \quad d=e^{-\sqrt{\Delta T}}, \quad q=\frac{1}{2}+\frac{\mu}{2\sigma}\Delta t, \quad \Delta t=\frac{t}{N}$$ Reescribamos la distribución binomial: $\text{Bin}\left(\left\lfloor\frac{\log(K/S_0d^N)}{\log(u/d)}\right\rfloor+1,N,q\right)$ \begin{align} 1-\text{Bin}\left(\left\lfloor\frac{\log(K/S_0d^N)}{\log(u/d)}\right\rfloor+1,N,q\right) &=\mathbb{Q}\left(i\leq \left\lfloor\frac{\log(K/S_0d^N)}{\log(u/d)}\right\rfloor+1-1\right) \\ &=\mathbb{Q}\bigg(\underbrace{\bigg(\frac{i-Nq}{\sqrt{Nq(1-q)}}\bigg)}_{=\frac{\log(S_T/S_0)-N\log d-Nq\log(u/d)}{\log(u/d)\sqrt{Nq(1-q)}}}\leq\underbrace{\frac{\left\lfloor\frac{\log(K/S_0d^N)}{\log(u/d)}\right\rfloor-Nq}{\sqrt{Nq(1-q)}}}_{=:\mathcal{A}}\bigg) \end{align} $$\left\lfloor\frac{\log(K/S_0d^N)}{\log(u/d)}\right\rfloor=\frac{\log(K/S_0d^N)}{\log(u/d)}-\varepsilon, \qquad \varepsilon\in[0,1) \\ \Rightarrow\mathcal{A}=\frac{\log(K/S_0)+N(\log d+q\log(u/d))-\varepsilon\log(u/d)}{\log(u/d)q(1-q)\sqrt N}$$

Ahora, sustituye $$\hat\mu=q(\log d+\log(u/d)),\quad \hat\sigma=q(1-q)(\log(u/d))^2,\quad q=\frac{e^{r\Delta t}-e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}}{e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}-e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}} \\ \text{in } f(\Delta t)=\frac{\log(K/S_0)-\hat\mu N-\varepsilon\log(u/d)}{\hat\sigma\sqrt N}$$ y calcular su expansión de Taylor: $$f(\Delta t)=\frac{\log(K/S_0)}{\sigma\sqrt{N\Delta t}}-\frac{2\varepsilon\sigma}{\sqrt N \sigma}+\frac{1}{2}\frac{\sigma^2N\Delta t-rN\Delta t}{\sigma N\Delta t}+O((\Delta t)^3)$$ Como $h\rightarrow 0$ , $N\rightarrow \infty$ y $N\Delta t=T$ , $$f(\Delta t)\rightarrow \frac{\log(K/S_0)-\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T}{\sigma\sqrt{T}} \\ \Rightarrow \text{Bin}\left(\left\lfloor\frac{\log(K/S_0d^N)}{\log(u/d)}\right\rfloor+1,N,q\right)\rightarrow \mathbf\Phi\left(\frac{\log(K/S_0)-\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T}{\sigma\sqrt{T}}\right)$$ Como resultado, tenemos la convergencia hacia el modelo Black-Scholes: $$\text{Call}_0=S_0\mathbf\Phi(d_1)-Ke^{-rT}\mathbf\Phi(d_2)$$

Para derivar la EDP, obsérvese que en el modelo binomial se mantiene $$e^{r\Delta t}\text{Call}(S,t)=q\text{Call}_u(S_u,t+\Delta t)+(1-q)\text{Call}_d(S_d,t+\Delta t)\tag1$$

Introduzca el valor de $q=\frac{e^{r\Delta t}-e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}}{e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}-e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}}$ :

$$e^{r\Delta t}\text{Call}(S,t)=\frac{e^{r\Delta t}-e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}}{e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}-e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}}\text{Call}(Se^{\sigma\sqrt{\Delta t}},t+\Delta t)+\frac{e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}-e^{r\Delta t}}{e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}-e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}}\text{Call}(Se^{-\sigma\sqrt{\Delta t}},t+\Delta t)$$

Ampliar $\text{Call}(Se^{\sigma\sqrt{\Delta t}},t+\Delta t)$ sobre $(S,t)$ :

$$\text{Call}(Se^{\sigma\sqrt{\Delta t}},t+\Delta t)=\text{Call}(S,t)+(e^{\sigma\Delta t}-1)\frac{\partial\text{Call}}{\partial S}+\frac{1}{2}(e^{\sigma\Delta t}-1)^2S^2\frac{\partial^2\text{Call}}{\partial S^2}+\Delta t\left(\frac{\partial\text{Call}}{\partial t}+(e^{\sigma\Delta t}-1)S\frac{\partial^2\text{Call}}{\partial S\partial t}+\frac{1}{2}(e^{\sigma\Delta t}-1)^2S^2\frac{\partial^3\text{Call}}{\partial S^2\partial t}\right)+O((S)^3)$$ A continuación, realice la misma expansión para $\text{Call}(Se^{-\sigma\sqrt{\Delta t}},t+\Delta t)$ sobre $(S,t)$ y reescribir la ec. (1)

$$e^{r\Delta t}\text{Call}(S,t)=\frac{e^{r\Delta t}-e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}}{e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}-e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}}\text{Call}(Se^{\sigma\sqrt{\Delta t}},t+\Delta t)-\frac{e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}-e^{r\Delta t}}{e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}-e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}}\text{Call}(Se^{-\sigma\sqrt{\Delta t}},t+\Delta t)\tag2$$

Expandir la ec. (2) en $\Delta t$ para conseguir

$$0=\left(r\text{Call}(S,t)+\frac{\partial\text{Call}}{\partial t}+rS\frac{\partial\text{Call}}{\partial S}+\frac{1}{2}rS^2\frac{\partial^2\text{Call}}{\partial S^2}\right)\Delta t+O((\Delta t)^{3/2})$$

Como $\Delta t\rightarrow 0$ tenemos la EDP de Black-Scholes.

Answer 2

Creo que las cosas no se anulan porque hubo un error en la fórmula inicial, que debería decir:

$exp(r \delta t) V(S,t)=pV(uS,t+\delta t)+(1-p)V(dS,t+\delta t)$

Desarrollar la función V hasta los términos de Taylor de segundo orden:

$exp(r \delta t) V(S,t)=p \big[V(S,t)+\frac{\partial V}{\partial S}(uS-S)+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}(uS-S)^2+\frac{\partial V}{\partial t}\delta t\big]+(1-p)\big[V(S,t)+\frac{\partial V}{\partial S}(dS-S)+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}(dS-S)^2+\frac{\partial V}{\partial t}\delta t\big]$

Ahora bien, teniendo en cuenta que $uS-S\approx \sigma \sqrt{\delta t}$ y $dS-S\approx -\sigma \sqrt{\delta t}$ la ecuación anterior se convierte en

$exp(r \delta t)V=p \big[V+\frac{\partial V}{\partial S}S \sigma \sqrt{\delta t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}S^2 \sigma^2 \delta t +\frac{\partial V}{\partial t}\delta t\big]+(1-p)\big[V-\frac{\partial V}{\partial S}S \sigma \sqrt{\delta t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}S^2 \sigma^2 \delta t+\frac{\partial V}{\partial t}\delta t\big]$

Aplicando Taylor de primer orden a la expresión de p:

$p=\frac{1+r \delta t-(1-\sigma \sqrt{\delta t})}{1+\sigma \sqrt{\delta t}-(1-\sigma \sqrt{\delta t})}=\frac{1}{2}+\frac{r}{2\sigma}\sqrt{\delta t}$

Introduciendo esto en la ecuación y resolviéndolo todo:

$exp(r \delta t)V-V=\frac{\partial V}{\partial t}\delta t+\frac{S^2 \sigma^2 }{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\delta t+rS\frac{\partial V}{\partial S}\delta t$

y utilizando en el LHS el Taylor de primer orden del factor de descuento:

$rV\delta t=\frac{\partial V}{\partial t}\delta t+\frac{S^2 \sigma^2 }{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\delta t+rS\frac{\partial V}{\partial S}\delta t$

$0=\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{S^2 \sigma^2 }{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}+rS\frac{\partial V}{\partial S}-rV$

Que es precisamente el BS PDE.