¿Existe relación entre los rendimientos crecientes y decrecientes a escala y la homogeneidad?

Question

Según el Análisis Macroeconómico de Varian (página 15), cuando los rendimientos a escala son constantes, la función de producción será homogénea de grado 1.

Cuando discute sobre rendimientos crecientes y decrecientes a escala, no menciona nuevamente la homogeneidad de la función de producción, pero me pregunto si podríamos demostrar que para rendimientos crecientes a escala la función de producción será homogénea de grado $k>1$ y para rendimientos decrecientes a escala homogénea de grado $0?

Intuitivamente parece que esto es solo una consecuencia de la definición de rendimientos a escala crecientes (decrecientes) $f(kx)>kf(x)$ ($f(kx)), pero no estoy seguro. Cualquier aclaración al respecto sería bienvenida.

Answer 1

Es posible encontrar una relación entre ambos conceptos, pero no de la manera en que mencionas.
Consideremos una función de producción que sea homogénea de grado $k$ (hdk en breve), entonces $$f(tx)=t^kf(x)$$ para todo $x$ y todo $t>0.$ Para un grado de homogeneidad mayor que uno, $k>1$, tenemos $$f(tx)=t^kf(x)>tf(x),$$ para todo $t>1$, lo cual corresponde a la definición de IRTS dada por Varian (1992, p.16). De manera similar para una función de producción hdk con $k<1$. En conclusión: $$Hdk, k>1 \implies IRTS, $$ $$Hdk, k<1 \implies DRTS. $$ La afirmación contraria no es verdadera.

Answer 2

Número. Tomar $f$ dada por $f(x)=x+x^2$. Supongamos que $f$ fuera homogénea de grado $k$. Por el teorema de las funciones homogéneas de Euler, debemos tener $k f(x)=x f'(x)$. Aquí, esto significa $k(x+x^2)=x+2x^2$, o

$$k=\frac{x+2x^2}{x+x^2}=\frac{1+2x}{1+x}.$$

Dado que el lado derecho es estrictamente creciente y el izquierdo es una constante, llegamos a una contradicción.