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¿Existe relación entre los rendimientos crecientes y decrecientes a escala y la homogeneidad?

Según el Análisis Macroeconómico de Varian (página 15), cuando los rendimientos a escala son constantes, la función de producción será homogénea de grado 1.

Cuando discute los rendimientos crecientes y decrecientes a escala, no menciona nuevamente la homogeneidad de la función de producción, ¿pero me pregunto si podríamos demostrar que para los rendimientos crecientes a escala la función de producción será homogénea de grado $k>1$ y para los rendimientos decrecientes a escala homogénea de grado $0?

Intuitivamente parece que esto es simplemente una consecuencia de la definición de rendimientos crecientes (decrecientes) a escala $f(kx)>kf(x)$ ($f(kx)), pero no estoy seguro. Cualquier aclaración al respecto sería bienvenida.

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Carl Puntos 2229

Es posible encontrar una relación entre ambos conceptos, pero no de la manera que mencionas.
Consideremos una función de producción que es homogénea de grado $k$ (hdk para abreviar), entonces $$f(tx)=t^kf(x)$$ para todo $x$ y todo $t>0.$ Para un grado de homogeneidad mayor a uno, $k>1$, tenemos $$f(tx)=t^kf(x)>tf(x),$$ para todo $t>1$, lo cual corresponde a la definición de IRTS dada por Varian (1992, p.16). De manera similar para una función de producción hdk con $k<1$. En conclusión: $$Hdk, k>1 \implies IRTS, $$ $$Hdk, k<1 \implies DRTS. $$ La afirmación contraria no es verdadera.

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Veo tu punto y estoy de acuerdo con lo que escribiste, pero deberías redactarlo de manera más clara: "Es cierto que toda función que es homogénea de grado $k>1$ ($k \in (0,1)$ exhibe rendimientos crecientes (decrecientes) a escala), pero lo contrario no necesariamente se cumple, es decir, hay funciones que exhiben rendimientos crecientes (decrecientes) a escala pero no son homogéneas de grado k > 1 (k entre 0 y 1). Entonces, el ejemplo mencionado en la respuesta anterior a ésta demuestra este punto.

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@Matteo Bulgarelli: gracias por la aclaración, es útil.

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henrikpp Puntos 340

Número. Tome $f$ dado por $f(x)=x+x^2$. Supongamos que $f$ sería homogéneo de grado $k$. Por el teorema de la función homogénea de Euler, debemos tener $kf(x)=xf'(x)$. Aquí, esto significa $k(x+x^2)=x+2x^2$, o

$$k=\frac{x+2x^2}{x+x^2}=\frac{1+2x}{1+x}.$$

Dado que el lado derecho es estrictamente creciente y el izquierdo es una constante, llegamos a una contradicción.

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$f(x) = \ln x$ podría ser un ejemplo aún más simple, ya que $kf(x) = xf'(x)$ es $k\ln x = x/x = 1$.

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"Supongamos que sería homogéneo de grado". Entonces, ¿supones algo falso por suposición? ¡La función que tomaste no es homogénea!

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Aunque entiendo tu punto (estás demostrando que una función no homogénea puede presentar rendimientos crecientes a escala), la redacción necesita ser mejorada.

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