Se nos da un espacio de probabilidad filtrado $(\Omega, \mathscr{F}, \{\mathscr{F}_t\}_{t \in [0,T]}, \mathbb{P})$ , donde $\{\mathscr{F}_t\}_{t \in [0,T]}$ es la filtración generada por la norma $\mathbb P$ -Movimiento browniano.
Dejemos que $dX_t = \theta_tdt +dW_t$ sea un proceso Ito donde $(\theta_t)_{t \in [0,T]}$ es $\mathscr{F}_t$ -adaptado y $E[\int_0^T \theta_s^2 ds] < \infty$ y
$$Y_t := X_tL_t, \ \ L_t = \exp Z_t, \ \ Z_t = -\int_0^t \theta_s dW_s - \frac{1}{2}\int_0^t\theta_s^2ds$$
Se puede demostrar que $Y_t$ es un $(\mathscr{F}_t, \mathbb{P})$ -martingale .
Oh también, la condición de Novikov se mantiene. No estoy seguro si eso es relevante.
Si $\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T$ , demuestre que $E_{\mathbb Q}[X_t | \mathscr F_u] = X_u$ .
Lo que he probado:
Por Novikov's $L_t$ es un $(\mathscr{F}_t, \mathbb{P})$ -martingale. Entonces tenemos que
$$E[X_tL_t | \mathscr F_u] = X_uE[L_t | \mathscr F_u]$$
$$ \to E[(X_t - X_u) L_t | \mathscr F_u] = 0$$
$$ \to E_{\mathbb Q}[(X_t - X_u) \frac{L_t}{L_T} | \mathscr F_u] = 0$$
$$ \to E_{\mathbb Q}[(X_t - X_u) \frac{L_t}{L_T} | \mathscr F_u] = 0$$
$$ \to E_{\mathbb Q}[(X_t - X_u) \exp(-Z_T + Z_t) | \mathscr F_u] = 0$$
¿Y ahora qué? No creo que $\exp(-Z_T + Z_t) = 1$ ...¿o no?
Otra cosa:
$$E[Y_t | \mathscr F_u] = Y_u$$
$$\to E[X_t L_t | \mathscr F_u] = X_u L_u$$
$$\to E_{\mathbb P}[X_t L_t | \mathscr F_u] = X_u L_u$$
$$\to E_{\mathbb Q}[X_t \frac {L_t}{L_T} | \mathscr F_u] = X_u L_u$$
$$\to ? E_{\mathbb Q}[X_t | \mathscr F_u] E[\frac {L_t}{L_T} | \mathscr F_u] = X_u L_u$$
Si es así, creo que tenemos $E[\frac {L_t}{L_T}| \mathscr F_u] = L_u \times$ alguna integral que resulte ser 1 probablemente por mgf, pero no creo que mgf se aplique como $\theta_t$ no es necesariamente determinista.
¿Qué hacer?
Otra cosa que probé:
$$E_{\mathbb Q}[X_t | \mathscr F_u] = E_{\mathbb Q}[\frac{Y_t}{L_t} | \mathscr F_u] $$
$$= E_{\mathbb P}[\frac{Y_t}{L_t L_T} | \mathscr F_u]$$
$$= E[\frac{Y_t}{L_t L_T} | \mathscr F_u]$$
$$= E[\frac{Y_t}{\exp Z_t \exp Z_T} | \mathscr F_u]$$
$$= \frac{1}{L_u^2} E[Y_t\exp (-Z_T+Z_t) | \mathscr F_u]$$
Parece que $\exp (-Z_T+Z_t)$ es independiente de $\mathscr F_u$ pero no creo que
$$E[Y_t\exp (-Z_T+Z_t) | \mathscr F_u] = E[Y_t| \mathscr F_u] E[\exp (-Z_T+Z_t) | \mathscr F_u]$$
¿O es así? Si es así, ¿por qué? Si no, ¿qué hacer?
