Demostrar la unicidad, y demostrar $Y_t$ es una martingala considerando $dZ_t$ y $dL_t$

Question

Supongamos que nos dan un espacio de probabilidad filtrado $(\Omega, \mathscr{F}, \{\mathscr{F}_t\}_{t \in [0,T]}, \mathbb{P})$ , donde $\{\mathscr{F}_t\}_{t \in [0,T]}$ es la filtración generada por la norma $\mathbb P$ -Movimiento browniano.

Dejemos que $dX_t = \theta_tdt +dW_t$ sea un proceso Ito donde $(\theta_t)_{t \in [0,T]}$ es $\mathscr{F}_t$ -adaptado y $E[\int_0^T \theta_s^2 ds] < \infty$ y

$$Y_t := X_tL_t, \ \ L_t = \exp Z_t, \ \ Z_t = -\int_0^t \theta_s dW_s - \frac{1}{2}\int_0^t\theta_s^2ds$$

Supongamos que se cumple la condición de Novikov.

Prueba $Y_t$ es un $(\mathscr{F}_t, \mathbb{P})$ -martingale.

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Pude demostrar que $dY_t = (L_t - \theta_tY_t)dW_t$ de derivar que $dZ_t = -\theta_tdW_t -\frac 1 2 \theta_t^2 dt$ y $dL_t = e^{Z_t}(-\theta_tdW_t)$ .

Suponiendo que esto sea correcto, ¿el hecho de que no haya un término de deriva en $dY_t$ ya establecen que $Y_t$ es un $(\mathscr{F}_t, \mathbb{P})$ -y no sólo que se trata de una martingala local o sólo que $E[Y_t | \mathscr{F}_u] = Y_u$ ?

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Edición: Parece que según este Una solución de una EDE es una martingala si es única.

1. $E[Y_0^2] = E[X_0^2]< \infty$ ¿Supongo? No se da ninguna condición inicial para $X_t$

2. Mostrar $\exists K \in \mathbb R$ s.t.

$|L_t - \theta_tx| \le K(1+|x|)$

$|(L_t - \theta_tx) - (L_t - \theta_ty)| \le K|x-y|$

Lo tenemos:

$$|L_t - \theta_tx| \le |L_t| + |\theta_t||x| \le |\theta_t|(1+|x|)$$

$$|(L_t - \theta_tx) - (L_t - \theta_ty)| \le |\theta_t||x-y|$$

No creo que $E[\int_0^T \theta_s^2 ds] < \infty$ significa que $\theta_t$ está acotado, ¿verdad?

Answer 1

Consideramos el caso en el que se cumple la condición de Novikov, es decir, \begin {align*} E \left [ \exp\left ( \frac {1}{2} \int_0 ^T \theta ^2_s ds \right ) \right ] < \infty. \end {align*} Entonces $\{L_t \mid t \ge 0\}$ es un $(\mathscr{F}_t, \mathbb{P})$ -martingale. En $\mathscr{F}_T$ definimos la medida de probabilidad $Q$ por \begin {align*} \frac {dQ}{dP} \big |_{ \mathscr {F}_T} &= L_T \\ &= \exp\left (- \frac {1}{2} \int_0 ^T \theta_s ^2 ds - \int_0 ^T \theta_s dW_s \right ). \end {align*} Por el teorema de Girsanov, $X=\{X_t \mid t \ge 0\}$ , donde \begin {align*} X_t = \int_0 ^t \theta_s ds + W_t, \end {align*} es un movimiento browniano estándar con respecto a la medida $Q$ y entonces es un $(\mathscr{F}_t, \mathbb{Q})$ -martingale. Es decir, para $0\leq u \leq t \leq T$ , \begin {align*} E_Q(X_t \mid \mathscr {F}_u) = X_u. \tag {1} \end {align*} Por otro lado, por la fórmula abstracta de Bayes, \begin {align*} E_Q(X_t \mid \mathscr {F}_u) &= E_P \left ( \frac {L_t}{L_u} X_t \mid \mathscr {F}_u \right ) \\ &= \frac {1}{L_u}E_P \left (L_t X_t \mid \mathscr {F}_u \right ). \tag {2} \end {align*} Combinando (1) y (2), tenemos que \begin {align*} E_P \left (L_t X_t \mid \mathscr {F}_u \right ) = L_u X_u. \end {align*} Es decir, $Y=LX$ es una martingala con respecto a la medida $P$ .